如何利用数学问题培养学生的思维能力

　　摘 要： 在数学课堂教学中，教师应根据教学需要从不同的角度、层次和要求设计问题，尽可能地达到提高学生各种思维能力的目的。本文作者结合具体的高中教学实例，根据不同的设计方法，探讨如何设计数学问题，找到数学和培养思维能力之间的连接点，引导学生进入数学世界体验数学，在探索数学知识的过程中解决生活中出现的实际问题，在解决问题的过程中迸发出无穷的灵感，培养各种思维能力。
　　关键词： 数学教学 数学问题 思维能力
　　
　　思维是认识过程的高级阶段，是人脑对事物本质和事物之间规律性关系的反映。思维能力是培养学生各种能力的核心。数学学科的丰富内容非常有利于培养学生分析、综合、抽象、概括的能力，同时也有利于培养他们对事物进行对比、类比、判断、推理的能力，以及跨越时空的想象力，从而培养他们的数学思维。要学好数学学科，无论是学习理论，掌握数学知识，解答习题，应用知识，自始至终都存在着积极的思维活动。因此，思维能力的培养对学生当前的学习和未来的发展均有十分重要的意义。
　　高中数学作为一门重要的基础学科，在培养学生逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，以及计算能力方面有着极其重要的作用。逻辑严密、推理深奥是其最显著的特点。如何在其教学过程中研究和探索培养学生的思维能力，成为一个重要的课题。发展学生的思维能力、优化学生的思维品质、提高学生的思维水平，成为中学数学教学的一个重要任务。
　　1.设计“悬念式”问题，培养思维的积极性
　　兴趣是最好的老师，也是每个学生自觉求知的内在动力。只有能够引发学生兴趣并发展其创新思维的问题才是有效的问题。因此，教师要根据数学教学的任务和思维训练的目标要求，充分挖掘兴趣激发的因素，有意识地为学生设计好激发思考和创造的问题情境，设置诱人的悬念，激发学生发散思维的火花和求知的欲望，从而培养学生思维的积极性。
　　在新授课的导入或讲解的过程中，设置一些悬念来引起学习兴趣，培养思维的积极性来引发探求的欲望。问题应具有趣味性，能引起学生的思考。例如:在讲等差数列的时候，可以先提问从1到100所有的数相加是多少？也许会有部分学生知道首尾相加的方法。再提问：从1到100所有的偶数相加结果呢？也许还会有人很快地算出来。最后再问：从1到100所有的质数相加是多少？估计就没有多少人可以立刻答出来了。到这里，我们可以让学生思考为什么之前的两个问题可以立刻答出来，而第三个却不能。原因就在于它们是否有规律性，从而引出所要讲的新内容——等差数列。问题可以是一种情境，其中隐含的数学问题可以由学生自己去提出、求解。这样能使学生在解决一个个“悬念”问题中探究，激发学生的学习兴趣，从而了解数列的本质。
　　2.设计“反复式”问题，培养思维的联想性
　　设计反复式问题引导学生自主联想，揭示和建立新旧知识的联系是培养思维联想性的有效途径。学生通过联想回忆的过程可以充分挖掘激发思维潜力。数学研究本身就是不断实践→认识→实践的过程，这样的过程推动了数学的进步和发展。而思维的联想在这一过程当中起着举足轻重的作用。所以，教师可以在教学过程中多设计一些反复式问题，引导学生联想与回忆，建立好新旧知识间的联系，深化对知识的理解。同时，教师可以鼓励学生建立自己的纠错集，曾经遗忘或忽视的知识点能够被经常回忆与反思必将使学生的思维能力得到提升。在实际解题中，学生将知识点融会贯通的能力也一定有所提高。因此，在教学中，应紧密结合学生的认知活动，适时设计好反复式问题，培养学生思维的联想性。在数学教学中应注重思维能力的培养，而思维能力的培养却需要教师精心地设计好各类问题。例如:在上每堂课前习惯性地复习一下上堂课的内容，或者在讲习题课时对涉及的知识点作必要的提示，引导他们去联想上堂课的知识要点。
　　例如在上《任意角的三角函数》这节习题课时：
　　1.回顾三角函数线的作法，再次加深理解和记忆，点明三角函数线在其他方面的应用，以及数形结合思想，便于学生在后续学习中更深入地思考，更广泛地研究。
　　2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小，以及今后研究三角函数图像与性质的基础。“我听见了，就忘记了；我看见了，就记住了；我做过了，就理解了”。要想让学生深刻理解三角函数线的概念，就要让学生主动去回顾，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程。再带着通过实践所得到的结论，回到所学的知识内，反复进行复习比较，获取更多的信息，达到培养思维连续性的目的。
　　3.设计“一题多解”问题，培养思维的求异性
　　设计“一题多解”问题，问题答案不唯一，各种不同水平的学生都可以由浅入深地做出回答。旨在引导学生从不同的角度来观察和思考，以寻求不同的解题路径，开拓学生的解题思路。并在此基础上让学生进行多次训练，这样既增长、巩固了知识，又培养了学生的求异性思维能力。因此在数学教学中，教师要注意抓住一道典型题目，努力寻求多种途径的解法，促使学生多方位、多层次、多角度地思考分析，打开学生的解题思路。培养学生的思维的开放性，促进创新思维的发展。
　　这是典型的数列问题，可以用多种方法来求解。数列是高中教材中最重要的知识点之一，高考中的难题都与数列有着千丝万缕的联系，书本上面介绍了它的一些基本求解公式，为了开拓学生的解题思维，还可让学生自主探究新的方法。
　　在设计“一题多解”问题时，不仅要让学生多掌握解题方法，而且要培养学生求异性的解题思维，同时要重视引导学生对多种方法进行比较，优化解题方法，提高解题速度并注意找出同一问题存在各种解法的条件与原因，挖掘其内在规律。这样将能很好地达到教学双赢，提高教学质量又培养思维能力的目的，何乐而不为呢？
　　4.设计“类比式”问题，培养思维的广阔性
　　注重培养学生正确的思维观察模式、方法，拓展思维的广阔性是指善于全方位探求，抓住问题的全貌，以及与问题相关的其他因素，进行多角度、多层次的思考与研究。在问题设计时，可通过设计类比式的问题，引导学生抓住问题的实质，进行多角度、多层次的思考与研究。所谓类比就是根据两个对象之间的相似性，要求解题者运用发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题、推广的命题、深入的命题，把信息从一个对象转移到另一个对象，或者根据一些特殊的数据，特殊的情况去归纳出一般的规律。学生在运用一个知识点解题的同时就能够举一反三地通过类比得出其他结论。
　　解析：解决本题可以类比圆的知识、两点之间的距离公式求解，根据题意，已知方程表示的曲线为空间中以（0，点到原点的距离，再类比平面中圆上的点到原点的最值问题的处理方法。在空间几何一些题目中，通过类比平面几何的知识，大胆猜想，得出在空间中的一些类似结论，或通过平面与空间的类比，如圆与球、三角形与三棱锥等之间关系的类比，把多维问题类比二维问题进行解答。二维与三维空间的类比也成为近几年考查的热点。
　　5.设计“陷阱式”问题，培养思维的辨否性
　　数学教学是数学思维活动的教学，暴露思维过程，就是描述思维过程及其产生的原因，设计陷阱式问题是为了让学生在“落入”和“走出”陷阱的过程中，吃一堑，长一智，学会合理地调整思维，避免走弯路。在教学，教师也可把自己思考某一问题时走过的弯路及错误过程暴露给学生，使学生知道老师与自己一样也犯思维错误，从而使学生充满信心，自愿建立错题改正本，强化纠正错误思维。可见设计陷阱式问题是培养辨否性思维，提高学生数学素质的重要途径之一。
　　例如几何图形的维数增加，低维图形的概念和性质不加判断地推广到高维图形这种现，在立体几何教学中较常见。比如平面几何中的定理：垂直于同一条直线的两条直线互相平行被搬到立体几何中就成为了陷阱式问题，通过解决陷阱式问题使学生善于辨别真伪，分清主次，积累经验，吸取教训，提高思维的辨否性。从而在解决问题时能对某一错误的想法和做法迅速作出判断，并及时修正。
　　6.设计“典型性”问题，培养思维的灵活性
　　教学的本质是展示和发展思维的过程。在数学教学中充分展示思维过程已成为广大数学老师的共识。一些学生在数学学习中多数采用题海战术，盲目地做大量的题目，看似掌握和巩固了解题方法，实际上却浪费了很多时间。我们在教学中要注重数学学习中思维灵活性的培养。典型性思维是创造性思维的基本成分之一，它是人们根据熟悉的方式分析问题和解决问题，利用已知的信息产生某一种逻辑的结论，是一种定向、定法、定序的思维方式。它有利于学生解题时，不迷惑与题目的表面现象，抓住题目的本质特性，从不同类型题目中探求统一解法。
　　通过上述的一系列的不同的设计问题的方式，精心设计每节课，使之形象生动，有意创设动人的情境，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望。让他们在实际生活中了解到数学的作用，在探索知识的过程中解决实际问题，迸发出无穷的灵感，培养各种思维能力。
　　
　　参考文献：
　　［1］李长春.浅谈如何通过数学问题设计培养学生的思维能力［J］.牡丹江教育学院学报，2003，2，（81）：62-63.
　　［2］朱国旗.设计数学问题培养思维能力［J］.中学生数理化.教与学，2006，（07）：10-11.
　　［3］丁建强.浅述课堂问题设计与思维能力培养［J］.小学教学，32-33.
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