从数学探究性课堂教学中的一个案例想起

　　摘 要： 新课程的基本理念之一，也是新课程的重要目标和内容标准之一就是培养学生的探究能力。因此当前课堂教学改革提倡探究性课堂教学，数学探究性课堂教学是当前课堂教学改革的亮点，但它同时又是当前课堂教学改革的难点，这是因为数学探究性课堂教学与传统的数学教学在方法上有明显的差异。尤其在教学材料的组织上也需要有所创新，要体现“亲和力”、“问题性”、“思想性”和“联系性”。作者根据一道经典的数学题谈谈数学探究性课堂教学的有效性。
　　关键词： 数学探究性课堂教学 有效性 创新
　　
　　一、展示问题
　　问题1.定长为2的线段AB的两个端点在抛物线x=y上移动，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求出此时直线AB的方程.
　　二、解决问题
　　1. 首先让学生独立分析题目的条件，探求解题思路。
　　学生1：点M到y轴的最短距离与点M的纵坐标有关，因为点M是线段AB的中点，所以点M的纵坐标与AB的坐标有关，又AB的长度为２也与AB的坐标有关，我想可以设出直线AB的方程，然后用弦长公式及韦达定理解决问题.
　　学生１的分析获得了其他学生的认可，我和学生共同完成本题的解答如下：
　　设直线AB方程：y=kx+b，设A（x，y），B（x，y），M（x，y）
　　由y=kx+bx=y?圯2y-（k+4b）y+2b=0
　　由韦达定理得：y===b+
　　∵|AB|=|y-y|=
　　==2
　　∴b=-
　　∴y=+b=+
　　=+
　　=+-≥-=
　　当且仅当=即k=3时“=”成立，此时y有最小值，b=.直线AB的方程为y=x+，y=-x+.
　　2.发散思维，探求其他解题思路。
　　学生2：因为AB是抛物线上的点，由y=我想到与点A，B到抛物线的准线距离有关.
　　我让学生2在黑板上展示他的解法：
　　如图，|MM′|=（|AA′|+|BB′|）=（|AF|+|BF|）≥|AB|=1.
　　当且仅当线段AB过焦点F时“=”成立，点M到y轴的最短距离是1-=.
　　对于学生2的精彩解法，我和学生们给予热烈掌声。但此时有学生提出疑问.
　　学生3：线段AB能过焦点吗？
　　学生3的质疑引起了全班同学的思考.
　　学生2：线段AB是可以过焦点的，因为线段AB的长度是2比抛物线的通径大.
　　学生3：若线段AB的长度比抛物线的通径小，线段AB是不会过抛物线的焦点的，会怎样？
　　对学生3的再次质疑又一次激起学生们思考，我顺势抛出第二个问题.
　　三、拓展问题
　　问题2.如果线段AB的长度为l，那么对于不同的l值，问题又如何解决?
　　学生们开始了紧张的思考和解答，我在巡视中发现大部分学生用前述的方法１来解决.我请学生４向同学展示他的解法如下：
　　由前述方法１可得：
　　y==b+
　　又|AB|=|y-y|=l?圯b=（-k）
　　∴y=b+=（-k）+=（+k）
　　令1+k=t，则t≥1，y=（+t-1）
　　若2l≥1即l≥时，易知y在［1，2l］上单调减，在［2l，+∞）单调增，故在t=2l时，y有最小值（4l-1）.
　　若2l＜1即l＜时，y在［1，+∞）单调增，当t=1时，y有最小值l.
　　学生4建立关于y的函数，利用函数的单调性完美解决了问题，他很得意，全班同学也很兴奋，我适时抛出第三个问题，目的是引导学生解题要注意归纳.
　　问题3.细棒的长度不同，y的最值也不同，有什么规律吗？
　　学生们对刚才的解题进行重新审视，很快有学生要求发表看法.
　　学生5：由学生４的解答可知，当l≥时，在t=2l时，y有最小值（4l-1），由y==b+及1+k=t可得b=，此时线段AB过抛物线x=y的焦点，又抛物线x=y的通径长为，所以当线段AB的长度l大于或等于抛物线的通径长时，y有最小值；当l＜时，当t=1时，y有最小值l，由1+k=t可得k=0，所以当线段AB的长度l小于抛物线的通径长时，线段水平放置y有最小值.
　　至此，问题已得到解决。在解决问题的过程中，学生的情绪是高昂的，在参与问题解决的过程中，学生的探索和创新能力得到了加强.由于我所任教的学校生源较好，为了进一步激发学生的学习兴趣，培养学生的创新思维，我抛出几个问题，供有兴趣的学生课后作进一步探讨.
　　四、课外探究
　　问题4：定长为2的线段AB的两个端点在椭圆x+=l上移动，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求出此时直线AB的方程.
　　问题5：定长为l的线段AB的两个端点在椭圆x+=1上移动，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求出此时直线AB的方程.
　　问题6：课后请你收集一些与本节课研究内容有关数学问题或物理问题，再作研究.
　　问题7：对本节课研究的问题有兴趣的同学可以合作交流写一篇数学小论文.
　　五、教学反思
　　探究式课堂教学是新课标所提倡的一个重要的教学观念，它强调课堂教学设计和开发过程，重视学生的探究活动，真正体现学生的主体性.因此我们必须思考怎样探究.
　　1.提出有效的问题，创设问题情境，引发学生的探究行为。
　　（1）引导学生阐述自己观点——让学生讲思路
　　传统的教学强调教师的指导示范作用，要教师把知识和方法教给学生，忽视对学生独立探究能力的培养.现代学习理论认为：探究能力应是学生在学习知识的过程中动态生成的，而不是独立于事物之外由教师传授而得.因此，本节课力求不断鼓励学生说出自己的想法，并展示自己的解法.
　　（2） 鼓励学生勤思善问——让学生提问题
　　学生带着自己的知识经验、思考参与课堂教学活动，在师生、生生的交互作用中，不断产生新的问题，教师要鼓励学生说出自己的困惑和疑问，引导学生探究解决新问题.
　　（3）适当引领探究方向——让学生找规律
　　教师的教学设计要更多思考学生如何学，知识教学尽量实现让学生自己钻研、领悟和感受.由于课堂时间的限制，课内的探究是有限的，教师要适当指引探究的方向，让学生在课后进行再思考、再探究.学生存在着一些生活经验，这些经验是学生探究性学习的基础，但其中往往有一些是错误的，例如教学中所遇到的“概率问题”，学生都认为抽签的先后顺序是影响到被抽到的概率的.这时侧重举例，引导学生首先猜测结果发生的概率，逐步消除错误的认识和经验.学生在此过程中不断将自己的最初猜测、实验结果和理论进行比较，促进了他们修正自己的错误认识和经验，从而建立正确的直觉.
　　在课堂教学中，教师也要不断地释放自己的智慧、激情、潜能和创造力.我们有理由相信：只有具有主体性的教师，也才能培养出具有主体意识的学生.
　　在对待教材的问题上，教师要做到“用教材教，而不是教教材”.“用教材教”是一种以学生发展为本的“人本教学”.在这里，教材是“范本”，是“凭借”，相对于“教教材”来说，教师具有更多的主体性.对待教材，教师“入乎其内，出乎其外”.而且，作为课程开发主体的教师，不仅仅“用教材教”，其自身也是课程的一部分.当课程从具体的教材走向经验和过程时，教师的经验和知识、与学生的对话与交往、对教学过程的调控等，都是重要的课程内容.教师不仅是一名教师，而且是一个完整的人.我们应让课堂教学过程成为师生共同分享、共同成长的过程.
　　2.给学生充足的探究时空和自由度，经历探究过程。
　　3.鼓励学生运用适合自己的学习方式。
　　成人的探究活动，一定是围绕着一个问题，运用一定的方法、策略进行的，先干什么，再干什么，遇到新的问题怎么解决，都是有一定规律的.学生的探究方式是简单的，并不一定都是有效的，因此需要教师去引导和指导.但是，学生的本来探究方式是应该受到尊重的，也是需要得到保护的，这是形成个性化学习方式的前提.同样，适合个性化学习方式的前提必须是教师先有灵活的个性化教学的特性.
　　4.学习任务自始至终都很明白。
　　教师要让学生知道学什么和学到什么程度，学生清楚地知道了，才会有意识地主动参与，否则有意识的参与就失去了方向.有的教师为了体现启发性，体现学生的创造性，把本来应该很明确告诉学生的任务“精心设计”，希望学生能自己发现，结果反倒把学生弄得“云里雾里”，既达不到效果，又浪费时间.教师在设计学生的探究活动时，要尽可能让学生明确探究的任务，需要学生自己思考的不能“代办”，需要明确指出的，一定要说得很清楚.
　　如何提高探究性教学水平，我们还需要深入的研究和探讨.但我觉得，首先，正视课堂动态生成，才能发挥教师主观能动性；其次，挖掘“本原性”问题，聚焦重要的数学思考方式，同时关注“认知节点”，选择适度的潜在距离，这样才能实现探究性课堂的有效性.