立足课堂教

　　摘 要： 教师在教学中更要引导学生在学习过程中学会发散思维，即会转换思考角度、转变思维方式，用不同的思路从不同的途径来掌握知识.本文作者就课堂教学中如何培养学生的发散思维能力谈谈个人的几点体会和认识.
　　关键词： 课堂教学 概念教学 变式教学 情境创设 发散思维
　　
　　发散思维是对已知信息进行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式.
　　新的《数学课程标准》明确指出，应使学生“具有创新意识，能独立思考，勇于有根据地怀疑，养成尊重事实，大胆想象的科学态度和科学精神”.“发散”是一种能力，即一个人发现问题、提出问题和解决问题的能力；“发散”又是一种思维活动，是智力思维能力的综合反映.而正确培养和拓展学生的发散思维能力，对强化其创新意识，提高其数学素质有着举足轻重的作用.因此，教师在教学中要引导学生在学习过程中学会发散思维，即会转换思考角度、转变思维方式，用不同的思路从不同的途径来掌握知识.这不仅有利于提高学生的灵活性、多面性与创造性，还有利于培养开拓型人才.我就课堂教学中如何培养学生的发散思维能力谈谈几点体会和认识.
　　一、深化数学概念教学，形成知识网络，做好知识准备
　　数学概念是整个数学知识结构的基础，是数学思想方法的载体.学生对基础概念理解得深浅，掌握得透彻与否，将直接影响其在解题过程中思维的准确性和广阔性.所以，在教学中，学生对概念的掌握必须做到“四要”：一要了解概念的产生过程和背景；二要准确表述概念的内容（其中包括文字表述，符号表述，图形表述）；三要深刻挖掘的内涵和外延（即条件限制的挖掘，特殊情形的挖掘，思想方法的挖掘）；四要学会普遍联系，揭示规律，明确概念所带来的解题中思维的关键点（也即思维发散的关键点）.例如：在教学“直线与圆的位置关系”的概念时，首先可以通过直观教具显示直线与圆存在几种位置关系，让学生了解概念的必要性.同时让学生回顾点与线的位置关系及点到直线距离的度量方式，自然引出直线与圆的位置关系的概念，体现定义的合理性、完备性和科学性，最后通过直线与点，以及直线与圆的关系的对比，反映度量的本质，揭示概念之间的内在联系，培养学生的发散思维能力.在整章知识学习结束后，应该对整章知识进行梳理及总结，实现对教材基础知识和基本方法的系统化、网络化.例如，对“函数概念与基本初等函数”一章知识进行梳理时，首先可以引导学生按教材章节从整体上把知识划分为几个部分，并以此为主要内容进行详细分解，画出知识结构示意图（如图1）.然后，让学生根据结构示意图进行归纳联系，并且要求学生对基本思想方法进行总结.
　　二、进行变式教学，鼓励学生从不同角度思考问题
　　在课堂教学中进行变式教学，即教师要注意引导学生多角度思考，多途径解题，使学生的思路逐步开阔，从而培养学生的发散思维.从数学教学的特点来看，以下几点应特别重视.一是启迪学生利用知识之间的横向联系来分析、解决数学问题，比如，对于一个数学问题，可要求学生从代数、几何、三角、解析几何或其他学科知识等多方面来思考，以寻求解决问题的途径.二是“因题制宜”，启迪学生从习惯思路的反方向去思考和分析问题，这在数学教学中常常表现为启迪学生逆用定义、定理、公式和法则；启迪学生逆向进行推理，即顺推繁复时考虑逆求；启迪学生反向进行证明，即直接解决困难时考虑间接解决；启迪学生从反向形成新结论，即探讨可能性或合理性存在逻辑困难时考虑探讨新的可能性等.三是启迪学生寻求多种多样解决问题的途径.比如，既考虑分析法，又考虑综合法；既考虑直接证法，又考虑间接证法；既考虑常规方法，又考虑非常规方法，等等.下面我就解题中的几种方法进行说明.
　　1.一题多解.
　　一题多解可以引导学生从不同角度考虑问题，从而使他们得到各种不同的方法，以拓宽他们的思路，发散他们的思维，培养他们思维的变通性.
　　如一道由书本上的习题改编的题：“已知S是等差数列{a}的前n项和，S=S（p＞q），则S=?摇 ?摇.”
　　解法一：基本量法.由S=na+d，以及S=S（p＞q），解得：a=d，代入S=（p+q）a+d，即得S=0.
　　解法二：函数思想.S可以表示为关于n的二次函数，其对称轴为，由图像可知其与x轴的交点一处为（0，0），另一处为（p+q，0），故S=0.
　　解法三：优化基本量法.由S=An+Bn，以及S=S（p＞q），代入得A（p+q）+B=0，，S=A（p+q）+B（p+q），代入即得S=0.此法虽然也是基本量法，但使解题过程得以简化，同时也体现了整体代换的思想.
　　解法四：解填空题也可以构造数列.例如：-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…令q=2，p=5，S=S=-5，则S=0，从而可猜测S=0.
　　解法五：利用等差数列中的一个结论，若S是等差数列前项和，则数列{}是等差数列.设{}的公差为d，则=+（p-q）d，=+pd，消去d得S=（S-S）=0.实际上此解法也可以理解成三点P（p，），Q（q，），N（p+q，）共线，利用斜率相等列式.
　　2.一题多变.
　　一题多变是充分利用教材，发挥教材中习题的作用，挖掘习题的潜能，引导学生步步深入，形成探索性思维.
　　在上抛物线的习题课时，以课本习题“过抛物线y=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y、y，求证：yy=-p.”为例.首先让学生认真审题，互相讨论，互相启发，集思广益，不难得到几种不同的证法.然后通过层层设问，及时引导，创造良好的思维环境，结合图形诱发学生的联想，使他们有所发现，从这一命题出发，引申出一系列关于抛物线焦点的其他命题.
　　命题1：过抛物线焦点弦的端点作准线的垂线，而垂足P、Q与焦点的连线互相垂直.
　　设问1：若以PQ为直径画圆，焦点与此圆的位置关系怎样？（如图2）
　　命题2：以抛物线的焦点弦在准线上的射影为直径的圆必过焦点.
　　设问2：取PQ的中心M，则M为此圆的圆心，连MF、MA，△APM与△AFM全等吗？为什么？
　　学生易答：因为|MP|=|MF|，|AP|=|AF|，AM为公共边，故△APM≌△AFM.
　　设问3：能判断AB与MF的位置关系吗？
　　答：由△APM≌△AFM得：∠AMF=∠APM=90°，故AF⊥MF，而AF与⊙M相切，于是得：
　　命题3：抛物线焦点弦在准线上射影的中点与焦点的连线垂直于焦点弦.
　　命题4：抛物线的焦点弦与以它在准线上射影为直径的圆相切于焦点.
　　设问4：取AB中点C，连接MC，能发现线段MC的长与焦点弦长有什么关系？
　　|MC|===
　　设问5：设MC与抛物线相交于点D，连接DF.△MFC是什么三角形?（如图3）
　　答：由命题3可知是直角三角形.
　　设问6：D是斜边MC的中点吗？
　　由|MD|=|DF|及平面几何知识易得：|DF|=|DC|，故D为MC的中点.
　　总结可得：
　　命题5：抛物线焦点弦的中点到准线的距离等于焦点弦长的一半，且其线段被抛物线平分.
　　设问7：连AB，BM，判断△AMB的形状.
　　从|MC|==|AC|=|BC|，可得∠MAC=∠AMC，∠CMB=∠CBM，因此∠AMC+∠CMB=∠CBM+∠MAC，故△AMB为直角三角形.
　　命题6：过抛物线焦点弦的中点作准线的垂线，垂足与焦点弦两端点的连线互相垂直.
　　
　　类似还可得：
　　命题7：过抛物线焦点弦的中点作准线的垂线，垂足必在焦点弦为直径的圆上.
　　命题8：以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切.
　　3.一题多思.
　　一题多思可以培养学生从新的角度、用新的观点去认识事物、解决问题，从而培养学生思维的独创性.
　　例如为了让学生彻底弄清楚轴对称问题，以“求点A（6，4）关于直线4x+3y-11=0的对称点A′的坐标.”为基本题，进行一题多思，恰当地对该题进行演变、引申、拓广.
　　（1）逆向思维：若A（6，4）与A′（-2，2）关于直线l对称，求直线l的方程.
　　（2）问题一般化：求点A（x，y）关于直线l∶Ax+By+C=0的对称点A′的坐标.
　　（3）问题特殊化：求点A（6，4）关于直线l∶y=x，l∶y=-x的对称点A′、A″的坐标.
　　（4）问题引申：求直线：x-y-2=0关于直线：4x+3y-11=0的对称直线的方程.
　　（5）与最值结合：在直线上l∶4x+3y-11=0上找一点M，使它到A（6，4），B（5，1）两点距离之和最小.
　　4.开放性问题.
　　在教学过程中教师可以结合课本的例题、练习题，以及自编的一些特别的练习题，要求学生由因寻果，执果索因，促使学生广开思路，多角度、多途径地思考问题.
　　如图4所示，在直四棱柱ABCD-ABCD中，当底面四边形ABCD满足?摇?摇条件时，有AC⊥BD（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.
　　分析：由于AA⊥平面ABCD，容易得到AC⊥BD是AC⊥BD的充要条件，而题目只需填写一个充分条件，答案举例如下：
　　1.AC⊥BD
　　2.ABCD是正方形
　　3.ABCD是菱形
　　4.AB=AD且BC=DC
　　5.AB=BC且AD=DC
　　6.S=AC•BD
　　7.底面ABCD的对角线平分一组对角
　　8.底面ABCD关于对角线对称
　　此题没有一个固定的答案，抓住P7LLGKwXsAE3h1kFB1Imlg==关键条件AC⊥BD是解决问题的重点.设计一些答案不唯一的试题，要求学生从不同角度分析比较，鼓励学生各抒己见.
　　总之，解题教学是数学教学的主渠道，在解题教学中注意培养学生的发散思维的能力，对于提高学生的思维品质，提高课堂教学质量，改变一些学生高分低能的状况，是一种行之有效的方法.
　　三、创设情境，激发学生求知欲，调动学生思维积极性
　　“兴趣是最好的老师”，激发学生的学习兴趣，是数学教学中促进发散思维的重要手段.
　　1.以旧引新，激发学生探求新知识的兴趣.
　　例如，在介绍二面角的概念时，先复习提问初中角的概念，通过点类比线，通过射线类比半平面，使学生产生对新知识的求知欲，从而提高学生思维的积极性.
　　2.创设问题情境，引导学生主动学习.
　　例如，在等比数列一节的教学中，可创设如下有趣的问题：龟兔赛跑，乌龟在前方1米处，兔子的速度是乌龟的10倍，当它追到1米处时，乌龟前进了米；当它追到米处时，乌龟又前进了米；当它追到米时，乌龟又前进了米……（1）分别写出相同的各段时间里兔子和乌龟各自所行的路程；（2）兔子能追上乌龟吗？让学生观察这两个数列的特点引出等比数列的定义，由此导入新课，能够有效地促进学生积极思考，激发浓厚兴趣，很快进入主动学习状态.
　　总之，发散思维能力的培养，主渠道是课堂教学.教师要最大限度地发扬课堂民主，调动学生参与学习的积极性，营造生动活泼的课堂氛围，让学生愉快思考，积极探索，大胆质疑.教师要巧设问题，善设疑点，给学生一个自由发挥的天地，提供积极参与的思维空间，学生对知识有了强烈的兴趣，才会主动地、积极地参与到学习活动中，它要求教师在教学中注意发掘一切可以调动学生发散思维能力的因素，开发学生的智力潜能，从而从根本上提高学生的创新思维能力.
　　
　　参考文献：
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　　［2］郑隆炘，毛鄂涴.数学思维与数学方法论概论［M］.武汉：华中理工大学出版社，1999.
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　　［6］桃李园.新课程改革背景下对学生发散思维的培养［J］.宿迁日报，2008.