导数在不等式证明中的应用

　　摘 要： 导数知识是“高等数学”中极其重要的部分，它的内容、思想和应用贯穿于整个高等数学的教学之中。微分中值定理和导数应用是导数知识中的重要内容，它们在不等式证明中有着广泛的运用。
　　关键词： 导数 不等式证明 中值定理 泰勒公式 应用
　　
　　导数知识是高等数学中极其重要的部分，它的内容思想和应用贯穿于整个高等数学的教学之中.微分中值定理和导数应用是导数知识中的重要内容.微分中值定理主要有:Roller定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理.导数的应用主要包括：利用导数判断函数的单调性、最值、凸性、泰勒公式等.我们可以根据这些定理的内容把它们和要证明的不等式有机结合起来，寻找证明的有效途径.
　　1．利用拉格朗日中值定理证明不等式
　　利用拉格朗日中值定理，一般要考虑导函数f′（x）的单调性，但有时不一定要求导函数具有单调性，如果能断定导函数在所讨论的区间上不变号，从而确定函数的单调性，也可以推证出不等式.解决这类问题的一般步骤是:
　　第一步：分析要证明的不等式，通过适当的变形后，选取辅助函数f（x）和区间［a，b］;
　　第二步：根据拉格朗日中值定理得到=f′（c）；
　　第三步：根据导函数f′（x）在（a，b）上的单调性，把f′（c）作适当放大和缩小，从而推证要证明的不等式.
　　例1：如果0＜x＜1，试证（1-x）e＜1+x.
　　证明：将要证明的不等式变形为（1-x）e-（1+x）＜0（0＜x＜1），令f（x）=（1-x）e-（1+x），则f′（x）=（1-2x）e-1，在（0，x）（0＜x＜1）上应用拉格朗日中值定理，得f（x）-f（0）=f′（c）（x-0）（0＜c＜x），而（1-x）e-（1+x）=［（1-2c）e-1］x（0＜c＜x）.
　　但在（0，1）上我们不易判别f′（x）的符号，为此我们由f（x）在（0，1）上的二阶导数f″（x）的符号来判别f′（x）的单调增减性，因为f″（x）=-4xe＜0（0＜x＜1），所以f′（x）在（0，1）上单调减少，从而有f′（1）＜f′（x）＜f′（0）=0.于是
　　（1-x）e-（1+x）=［（1-2c）e-1］x＜0，
　　即（1-x）e-（1+x）＜0（0＜x＜1）.
　　例2：证明不等式＜ln＜（0＜a＜b）.
　　证明：设f（x）=ln（x），则f（x）在区间［a，b］上满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在c∈（a，b），使得f′（c）=，由f′（c）=，得=.
　　又因＜＜，于是＜lnb-lna＜，即＜ln＜.
　　2．利用函数的单调性证明不等式
　　许多不等式与函数相关，或整理后与函数相关，我们可以先用导数证明函数的单调性，再用函数单调性的性质去证明不等式，这就是利用单调性证明不等式的思想.用单调性证明不等式的步骤：
　　（1）确定函数自变量所在的区间［a，b］;
　　（2）求f′（x），确定f（x）在区间［a，b］上的单调性;
　　（3）由单调性得到不等式.
　　例3:证明：当x＞1时，不等式lnx＞恒成立.
　　证明：令f（x）=lnx-，则f′（x）=-=.
　　因为x＞1，所以f′（x）＞0，即x＞1时，f′（x）为增函数，所以：
　　f（x）＞f（1）=ln1-=0，
　　所以lnx-＞0，即lnx＞.
　　3．利用函数的凹凸性证明不等式
　　若函数y=f（x）在区间（a，b）上是凹（凸）的，则对（a，b）内任意两点x和x，都有f（）＜（＞）［f（x）+f（x）］，从而可利用函数图形的凹凸性证明一些不等式，特别是一类多元不等式.通常是根据欲证不等式，构造辅助函数，利用该函数在某区间上的二阶导数的正负来判定在该区间上的凹凸性，从而证明不等式.
　　例4:证明不等式xlnx+ylny＞（x+y）ln（x＞0，y＞0，x≠y）.
　　分析：观察欲证不等式，易发现其等价不等式为＞ln，从而易想到应构造辅助函数f（t）=tlnt（t＞0）.
　　证明：令f（t）=tlnt（t＞0），因为f′（t）=1+lnt，f″（t）=＞0，所以f（x）在（0，+∞）内是凹的，于是对于任给x，y∈（0，+∞），x≠y，都有
　　＞ln，
　　所以xlnx+ylny＞（x+y）ln.
　　4．利用泰勒公式证明不等式
　　如果函数f（x）的二阶和二阶以上导数存在且有界，可以利用泰勒公式证明这些不等式.
　　证题思路：①写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式;
　　②恰当选择等式两边x与x;
　　③根据最高阶导数的大小或界对展开式进行放缩.
　　例5:设f（x）在区间（a，b）内二阶可导，且f″（x）≥0，则：
　　f≤，
　　其中p，p，…，p均为正数，x，x，…，x∈（a，b）.
　　证明：记x=，则x∈（a，b）.
　　由于f（x）在（a，b）内二阶可导，故f（x）在点x处一阶泰勒公式成立，
　　f（x）=f（x）+f′（x）（x-x）+（x-x）（x＜ξ＜x）.
　　因为f″（x）≥0，x∈（a，b），所以f″（ξ）≥0，所以f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），
　　分别取x=x，x，…，x，则有f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），
　　f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），…，f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），
　　以上各不等式分别乘以p，p，…，p，得：
　　pf（x）≥pf（x）+pf′（x）（x-x），pf（x）≥pf（x）+pf′（x）（x-x），
　　…，pf（x）≥pf（x）+pf′（x）（x-x），
　　将上面n个不等式相加，得：
　　pf（x）+pf（x）+…+pf（x）≥（p+p+…+p）f（x）+f′（x）［px+px+…+px-（p+p+…+p）x］
　　因为x=，所以：
　　pf（x）+pf（x）+…+pf（x）≥（p+p+…+p）f（x），
　　此即f（x）≤，
　　从而f≤.
　　通过研究导数在不等式证明中的应用能简化解题过程，以及计算步骤，导数为以往数学问题的解决注入了新的活力，为数学解题提供了有力的工具，使不等式的证明变得更加简单.
　　
　　参考文献：
　　［1］朱家俊.导数知识在不等式证明中的应用［J］.镇江高专学报，2008，21，（3）：110-112.
　　［2］周晓农.导数在不等式证明中的应用［J］.金筑大学学报，2000，3：107-110.
　　［3］尚肖飞，贾计荣.利用导数证明不等式的若干方法［J］.太原教育学报，2002，20，（2）：35-37.
　　［4］刘开生，潘书林.导数在证明不等式中的应用［J］.天水师范学报，2000，3，（20）：115-116.