利用构造法求数列通项公式的常见题型与解法分析

　　摘 要: 数列是高考的热点内容，也是进入大学学习高等数学的基本工具。纵观历年全国各地高考数学试题，几乎都会涉及数列的题型，而这类题型一般都会要求考生求出数列的通项公式。在近几年的高考数学试题中，命题趋势逐渐趋向利用“构造法”求数列的通项公式。如何针对这种题型获得快速解决问题的技巧，这需要考生在平日备考中掌握利用构造法求数列通项公式的常见题型与解法。
　　关键词： 数列 通项公式 构造法 常见题型 解法分析
　　
　　一、题型：形如“a=pa+q”的递推关系
　　求解策略：由于递推关系a=pa+q不是普通的等差、等比数列关系，我们可以构造新数列：a+x=p（a+x），根据系数关系有：（p-1）x=q，则可求出x，所以数列{a+x}是以首项为a+x，公比为p的等比数列，于是有a+x=（a+x）p，所以a=（a+x）p-x.
　　例题：已知数列{a}满足a=1，a=a+1，求数列{a}通项公式.
　　解析：结合题型的求解策略，构造新数列：a+x=（a+x），即a=a-x，利用待定系数法得：-x=1，即x=-3，所以数列{a-3}是以首项为a-3=2，公比为的等比数列，即有a-3=（a-3）（），所以a=3-2•（）.
　　二、题型变式一：形如“a=pa+q”的递推关系
　　求解策略：设想构造新数列：a+xq=p（a+xq），根据系数关系有：（p-q）x=1，则可求出x，即数列{a+xq}以首项为a+xq，公比为p的等比数列，即有a+xq=（a+x）p，所以a=（a+xq）p-xq.
　　例题：已知数列{a}满足a=1，a=3a+2，求数列{a}通项公式.
　　解析：结合变式一的求解策略，构造新数列：a+x•2=3（a+x•2），于是有a=3a+x•2，利用待定系数法可得：x=1，即数列{a+2}是以首项为a+2=3，公比为3的等比数列，于是有a+2=（a+2）•3，所以a=3-2.
　　三、题型变式二：形如“a=pa+qa”的递推关系
　　求解策略：设想构造新数列：a+xa=y（a+xa），根据系数关系则有：y-x=p，xy=q，则可求出和，即数列{a+xa}是以首项a+xa，公比为y的等比数列，于是有a+xa=（a+xa）y，这种题型需要根据x，y的具体值才可以求出数列的通项.
　　例题：已知数列{a}满足a=2，a=3，a=a+a，求数列{a}通项公式.
　　解析：结合变式二的求解策略，设想构造新数列：a+xa=y（a+xa），即a=（y-x）a+xya，利用待定系数法可得：y-x=，xy=，即x=-1，y=-（或x=，y=1，结果一样）.于是a-a=-（a-a），即数列{a-a}是以首项a-a=1，公比为-的等比数列，即a-a=（-），由n的不同取值得出不同表达式，利用叠加法有a-a+a-a+…+a-a=（-）+（-）+…+（-），消去中间一些项可得：a-a=［1-（-）］，所以a=-（-）.
　　四、题型变式三：形如“a=k（a=k•a）”的递推关系
　　求解策略：由递推关系a=k•a可知，等式的右边含有指数（分数），一般指数是分数的形式，可利用对数函数的性质，两边取以k为底的对数，即：loga=log（k•a），得：loga=1+loga，这种情形可以构造新数列：loga+x=（loga+x），根据系数关系有：-x=1，得x=-2，即数列{loga-2}以首项为loga-2，公比为的等比数列，于是logka-2=（loga-2）（），所以a=k（）.
　　例题：已知数列{a}满足a=1，a=2，求数列{a}通项公式.
　　解析：递推关系a=2=2•a，结合变式三的求解策略，等式两边同时取以2为底的对数，即loga=log（2•a），即loga=loga+1，这种情形可以构造新数列：loga+x=（loga+x），即loga=loga-x，利用待定系数法得：-x=1，即x=-2，所以数列{loga-2}是以首项为loga-2=-1，公比为的等比数列，于是有loga-2=（loga-2）（），所以a=2.
　　小结：解答这类题型的一般步骤为：
　　以上主要列举了四种利用“构造法”求数列通项公式的常见题型及其解法分析，每种题型各具特点，同时彼此之间又相互联系.根据数列求通项公式的题型，考生也可以选择利用“数学归纳法”进行求解.在备考过程中，考生多掌握一种解题方法，这不仅可以发散个人的思维，而且可以提高自身的应试能力.通过这些总结分析，希望能对考生有所帮助，同时也祝愿各位考生在考试中取得好成绩.