概率统计在彩票中的应用

　　摘 要： 本文介绍了几种常见彩票的玩法，运用数理统计方法比较分析了它们的中奖概率，大奖的期望额，中奖金额收益率等，并探讨了中奖号码的数字之和的数学期望，中奖号码中有重复数字的概率，相邻两期中奖号码数字有重复的概率，中奖号中有连号出现的概率，根据结果为彩民投注提供了一些可行性的建议。
　　关键词： 概率统计 彩票 应用
　　
　　近年来，我国的彩票市场蓬勃发展，运营机制日趋成熟，彩票作为一种建立在机会均等基础上的娱乐游戏，愈来愈得到广大市民的支持与参与，逐渐成为许多市民生活中的一部分，也引起了很多专家学者的关注和研究［1］.本文对几种常见的彩票方案从理论上做了数理分析，并有针对性地提出了购买建议，相信对众多彩民认识彩票的相关知识会有一定的帮助.
　　一、常见的彩票分类与设奖方案
　　彩票的发行有多种方案，常见的彩票销售规则主要有“传统型”和“乐透型”两类，本文选取了传统型“10选6+1”、中国福利彩票“七乐彩（30选7）”、“双色球”和中国体育彩票“36选6+1”这几种典型的方案为例来进行探讨.
　　1.传统型“10选6+1”
　　玩法：先从0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个；然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码.投注者从“0~9”10个号码中任选6个基本号码（可重复），从“0~4”中选1个特别号码，构成一注，中奖规则如下表1.
　　表1 “10选6+1”方案中奖号码与中奖等级说明
　　（假设中奖基本号为123456，特别号为0）
　　
　　（备注：按照顺序.其中：△表示不中的号码；？表示可中可不中.）
　　2.乐透型
　　（1）“30选7”和“36选6+1”
　　玩法：“乐透型”有多种不同的形式，以“30选7”和“36选6+1”为例.“30选7”：先从“01~30”这30个号码中摇出7个基本号码，再从剩余的23个号码球中摇出一个特别号，构成中奖号码.投注者从“01~30”这30个号码中任选7个，不考虑号顺序组成1注（不可重复）.“36选6+1”：先从“01~36”这36个号码中摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码.从“01~36” 36个号码中任选7个，不考虑号顺序组成一注（不可重复）.两种方案的中奖等级如下表2所列.
　　表2 30选7与36选6+1方案的中奖号码及中奖等级说明
　　（备注：顺序不限.其中：●表示选中的基本号码，○表示未选中的基本号码，★表示选中的特别号码.）
　　 （2）“双色球”
　　“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成.红色球号码从1—33中选择；蓝色球号码从1—16中选择.中奖等级如下表3所列.
　　表3 “双色球”方案的中奖号码及中奖等级说明
　　（备注：顺序不限.其中：●表示选中的红色球，○表示未选中的红色球，★表示选中的蓝色球.）
　　3.彩票各项奖金的设置方案
　　各种彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖，则不再兼得低级别的奖.一般其中前面的一、二、三等奖为高项奖，按比例分配，后面的为低项奖，奖数额固定，分配方案如下表4所列.有多人同时中得高项奖时，中奖人平分高项奖的奖金.各高项奖的奖金额计算方法为：
　　［（当期销售总额×总奖金比例）－低项奖奖金总额］×单项奖比例.
　　表4 彩票各项奖金分配方案
　　二、彩票方案的数理分析及相应投注技巧建议
　　1.单注彩票中奖概率［２］
　　在摇出中奖号码的过程中，中奖号码发生的事件，以及各种号码出现的概率是相互独立的，是等概率的，这是一个古典概型的问题.由古典概型得，中奖概率=该等奖中奖号码个数/所有可能的号码个数.从而，我们可以分别对传统型和乐透型彩票各奖项的中奖概率进行探讨.
　　（1）传统型彩票“10选6+1”
　　传统型“10选6+1”彩票的中奖规则，实质为排列组合的问题. 各等级中奖概率如下：
　　（2）乐透型彩票
　　由于乐透型彩票不考虑顺序问题，因此这是单纯的组合问题.［２］
　　①“30选7”与“36选6+1”的中奖概率
　　②“双色球”的中奖概率
　　通过计算，以上几种形式的彩票，每期开奖中奖机会分别为：每1000个人中有46，33，16，67人能中奖，“双色球”的中奖率最高，所以“双色球”是当前比较流行的一种“乐透型”福利彩票.“双色球”中奖概率高完全是由于蓝球产生的，因为六等奖只需中蓝球，而它的概率高达5.887%，从而提高了“双色球”整体的中奖率.其实“双色球”一等奖中奖概率远远低于其他“乐透型”彩票中奖率，其一等奖的中奖概率为5.6430×10，是普通乐透型彩票“36选6+1”一等奖中奖概率1.1979×10的0.471，连一半还不到.
　　彩民们要以良好的心态和自己的收入水平来购买彩票，收入较高的彩民，承受风险的能力较强，可以购买那些大奖金额高、中奖率相对较低的彩票，如“30选7”和“36选6+1”；而收入较低的彩民，承受风险的能力有限，适合购买那些中奖面宽的彩票，如“10选6+1”和“双色球”；喜欢高项奖的概率大一点则可以选择“10选6+1”和“30选7”.
　　2.彩票中奖奖金额的影响因素
　　彩票中奖奖金额的期望依赖于两个因素：一个是各个奖级的中奖概率，这在前面已经计算得到了；另一个是各奖级的奖金金额.其中低项奖奖金固定，而高项奖（一般为一、二、三等奖）的奖金是浮动的.根据规定，一般来说，它又与三个因素有关：一是当期奖金总额，即销售的彩票总注数；二是上期“奖池”中的累积奖金；三是滞留下期“奖池”的奖金.
　　既然高项奖的奖金额受当期奖金总额的影响，那么中大奖的期望额与当期彩票的销售额是否存在较大的关系呢？
　　定理：大奖奖金的期望由彩票发行方案单独确定，与销售额无关.
　　证明：设某期销售总