利用拉普拉斯变换求解常微分方程

　　摘 要： 根据拉普拉斯变换的线性性质，可以使一个未知函数所满足的常系数线性微分方程的初值问题经过拉普拉斯变换后，转化为它的象函数所满足的代数方程。解此代数方程，然后再取拉普拉斯逆变换，就得到原微分方程的解。
　　关键词： 拉普拉斯变换 常微分方程 初值问题
　　
　　拉普拉斯变换是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换.对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多.拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化.
　　1.拉普拉斯变换的定义及性质
　　由积分F（S）=?蘩ef（t）所定义的复平面（Res＞σ）上的复变数s的函数F（S），称为函数f（t）的拉普拉斯变换，其中f（t）于t≥0有定义，且满足不等式|f（t）|＜Me，这里M，σ为某两个正常数，我们将称为f（t）原函数，而F（S）称为象函数.
　　在应用拉普拉斯变换解决问题时，经常用到的性质有拉普拉斯变换的线性性质、平移性质、微分性质（包括象原函数的微分性质、象函数的微分性质）积分性质（包括象原函数的积分性质、象函数的积分性质）、极限性质.
　　2.利用拉氏变换求解微分方程初值问题
　　用拉氏变换求微分方程初值问题的解做法如图1。
　　图1 用拉氏变换求微分方程初值问题的解
　　由于使用了拉氏变换，在时间域中求原函数（微分方程初值问题的解）转换为在复数域中求象函数（代数方程的解），从而方便了运算.在图１中，如果象函数是有理分式函数，就可以通过部分分式分解和查表的方法求出微分方程初值问题的解.与经典的解微分方程初值问题的方法比较，拉氏变换法比较直接，可以直接得到初值问题的解，特别是没有确定任意常数这一步骤，确定任意常数实际上是解线性方程组，当方程阶次较高时，这一步骤是很繁琐的.
　　与经典方法先求微分方程的通解，然后根据初始条件确定其任意常数的求特解的方法相比，拉普拉斯变换法有以下几个优点：
　　（1）拉普拉斯变换法把常系数线性微分方程转化为象函数的代数方程，这个代数方程已“包含”了预先给定的初始条件，因而省去了经典方法中由通解求特解的步骤.
　　（2）当初始条件全部为零时（这在工程实际中是常见的），用拉普拉斯变换求解更为简便.
　　拉普拉斯变换法主要借助于拉普拉斯变换把常系数线性方程（组）转换成复变数s的代数方程（组），通过一些代数运算，一般再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组）的解.方法十分简便，为工程技术工作者所普遍采用.当然方法也具有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则该方法就不适用了.
　　3.应用实例
　　例1：求解方程x″+2x′+x=e，x（0）=x′（0）=0.
　　解：先令τ=t-1，将问题化为
　　x″+2x′+x=e，x（0）=x′（0）=0，
　　再对新方程两边做拉普拉斯变换，得到
　　sX（s）+2sX（s）+X（s）=•
　　因此X（s）=•
　　查拉普拉斯变换表可得x（τ）=τe，
　　从而x（t）=（t-1）e，这就是所要求的解.
　　例2：求方程x?苁+3x″+3x′+x=1的满足初值条件x（0）=x′（0）=x″（0）=0的解.
　　解：对方程两边做拉普拉斯变换得（s+3s+3s+1）X（s）=.
　　由此得X（s）=把上式右端分解成部分分式：
　　=---
　　对上式右端各项分别求出（查表）其原函数，则它们的和就是X（s）的原函数，所要求的解为：
　　x（t）=1-e-te-（t+2t+2）e
　　
　　参考文献：
　　［1］丁同仁，李承治.常微分方程教程［M］.北京：高等教育出版社，1991：42-43.
　　［2］陆镭.拉普拉斯变换及其应用［J］.安庆师范学院学报，2002：75-99.
　　［3］东北师范大学微分方程教研室.常微分方程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：122-135.