构造法在高考数学解题中的应用

　　摘要： 构造法是一种富有创造性的数学思想方法，它是通过构造数学问题没有的中介工具——数学模型、对应关系或存在实例，解决用常规方法不易解决的数学问题。研究构造法在高考中的应用，对于指导教学，提高学生的解题能力和优化学生的思维品质有重要意义。作者提供了丰富翔实的用构造法解高考数学试题的例证，借此诠释用构造法解题的中介工具有哪些，以及怎样构造，构造法解题的优越性和应用的广泛性，提高构造法解题能力的措施和现实意义.
　　关键词： 构造法 高考数学试题 解题应用
　　
　　解题通常是由问题的题设推出结论，但有些问题（例如存在性问题，条件与结论相距较远的问题等），直接推理有时不能顺利进行，此时不得不寻找某种中介工具来沟通条件与结论的联系.解题的中介工具往往隐含在问题之中，需要解题者发现和构造.这种构造问题本身没有的中介工具——数学模型、对应关系或存在实例，去实现解题的方法就是构造法.构造法是一种较高层次的化归方法，是一种富有创造性和具有活力的数学思想方法.在近几年的高考试题中，有不少考题用常规方法不易解决，需要考生构造恰当的中介工具来解决这些非常规问题.研究构造法在高考解题中的应用，对于提高学生的解题能力，培养学生的创新意识和创造性思维能力有重要意义.我对构造法在高考数学解题中的应用做了初步研究，在此与各位同行商榷.
　　一、构造数学模型——沟通条件与结论的联系
　　1.构造函数
　　构造函数法就是根据对问题中数量关系的分析，构造一个或几个函数，再利用所构造的函数解决问题的方法.函数沟通了常量数学与变量数学间的关系，可解决方程、不等式、数列、三角等常量数学中的问题.
　　例1.（2009江西文，15）若不等式≤k（x+1）的解集为区间［a，b］，且b-a=1，则k=?摇?摇?摇?摇?摇.
　　解：设y=，y=k（x+1）.由数形结合，半圆y=在直线y=k（x+1）之下时，x∈（1，2），则直线y=k（x+1）过点（1，），∴.
　　本题考查求参数的值，由于所给不等式是无理不等式，局限在不等式的范畴不易求解，鉴于此，构造函数并利用直观的函数图像表示抽象的数量关系而获解.考生应重视培养数形结合的思想意识，熟练做到“以数表形，以形助数”，借此开拓思维，激发解题的灵感.
　　2.构造方程
　　根据问题条件中的数量关系和结论特征，构造出一个新的方程或方程组，然后根据方程的理论使问题在新的关系结构下获解，这种解法就是构造方程法.方程思想渗透于整个中学数学体系中，方程知识应用在证明等式和不等式，求参数的取值范围，代数中的待定系数法、解析几何中的曲线方程、参数方程、交轨法等方面.构造方程解题依赖于对问题的整体性认识和把握，关键是挖掘出构造方程的隐含条件.
　　例2.（2011浙江理，16）设x，y为实数，若4x+y+xy=1，则2x+y的最大值是?摇?摇?摇?摇?摇.
　　解：已知等式可变形为（2x+y）-3xy=1，令2x+y=t，则2xy=（t-1）.由韦达定理知2x、y为一元二次方程z-tz+（t-1）=0的两根.又2x、y为实数，∴△=（-t）-4××（t-1）≥0，即t≤，|t|≤.则2x+y的最大值是.
　　本题常规解法是利用不等式“a+b≥2ab”，变形技巧性强，解题过程繁杂.已知等式隐含着2x+y与2xy之间的数量关系，构造方程求解，思路清晰，过程流畅.真可谓“方法对头，事半功倍”.构造一元二次方程还有利用判别式和方程解的定义.
　　3.构造坐标
　　解析几何是数形结合的典范.坐标法是通过建立坐标系，把几何问题化归为代数问题，通过代数结论去获得几何结论.其实数形结合还可在相反方向上得到具体运用，即通过坐标系的建立，把代数问题化归为几何问题，如例3.
　　例3.（2008江苏，13）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是?摇?摇?摇?摇?摇.
　　解：取直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）.设C（x，y），由AC=BC，得=•，整理得（x-3）+y=8（y≠0）.当C（3，2）时，△ABC的面积最大值为×2×2=2.
　　本题从表面上看是一道解三角形的问题.一般解法是利用三角形的面积公式S=bcsinA建立函数模型，利用函数的性质求解，此种解法对推理和运算的能力要求很高，解题步骤多，小题大做.而本题解法打破思维定势的影响，另辟蹊径，构造坐标法，获得简便解法.此种解法别开生面，充分体现了坐标法解题的优越性.
　　4.构造向量
　　向量既具有数的特性又具有形的特征，既可进行几何运算又可进行代数运算，这种特点使得向量具有广泛的应用.向量可解决平行、垂直、角、距离等问题.向量是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁.
　　例4.（2008全国Ⅰ理，10）若直线+=1通过点M（cosα，sinα），则（?摇?摇）.
　　A.a+b≤1 B.a+b≥1 C.+≤1D.+≥1
　　解：设向量=（cosα，sinα），向量=（，）.由题意知+=1.由•≤||||，可得1=+≤.∴+≥1.选D.
　　本题是一道解几问题，条件与结论难以直接沟通.通过构造向量架起条件与结论之间的桥梁，利用向量的性质解题.构造向量解题的要点是运用向量知识把所给问题转化为代数问题.
　　5.构造图形
　　如果问题给出的几何图形不便于解题，代数问题的条件或结论中的数量关系有明显的几何意义或以某种形式可与几何图形建立联系，则可考虑构造几何图形，将题设条件与结论直接在图形中得到实现，在构造的图形中寻求原问题的结论，这种解题方法就是构造图形法.
　　例5.（2008福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是?摇?摇?摇?摇?摇.
　　解：以已知三棱锥的三个侧面为侧面，可作一个棱长为的正方体，已知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设半径为R，则（2R）=（）+（）+（），R=，表面积为4πR=9π.
　　例6.（2010江苏，13）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，+=6cosC，则+=?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇.
　　解：考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性.
　　当A=B或a=b时满足题意，可依次求出：cosC=，sinC=，tanC=2，tan=，tanA=tanB==，==4.
　　例7.（同例4）
　　解：过O作OH垂直已知直线于H，则OH≤OM.∴≤=1，∴≥1，+≥1.选D.
　　这三例都是构造几何模型.例5采用补形法构造立几模型例6采用特殊化法构造平几模型.添加辅助线、割补、几何变换、特殊化等是常用的构图方法例7利用试题结论的几何意义构造平几模型，利用直观的图形表示不等关系.构造成功的关键是掌握某些表达式的几何意义.
　　构造法所要构造的数学模型是指那些反映特定问题的数学对象及其关系结构的具体、直观、典型的模式，除以上举例说明的之外，还有实数、复数、式、变量、数列、不等式、集合、辅助命题等.构造模型是一种创造性思维，但离不开对题目结构特点的深刻认识.
　　二、构造对应关系——利用新的对应关系解题
　　这种方法是通过建立题设与结论之间的对应关系，利用对应关系的性质解题.在多数情况下是建立确定的函数关系式，然后利用函数的性质解题.
　　例8.（2008江苏理，附加题）在平面直角坐标系xoy中，设P（x，y）是椭圆+y=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.
　　
　　解：因椭圆的参数方程为x=cosφ，且y=sinφ（φ为参数），故可设动点P（cosφ，sinφ），其中0≤φ＜2，因此，S=x+y=cosφ+sinφ=2sin（φ+）.所以当φ=时，S=2.
　　例9.（2010江苏，12）设x，y为实数，满足3≤xy≤8，4≤≤9，则的最大值是?摇?摇?摇?摇?摇.
　　解：设xy=m，=n，解得x=mn，y=mn，∴=.又3≤m≤8，4≤n≤9，∴≤≤，16≤n≤81.∴2≤≤27，即2≤≤27，∴的最大值是27.
　　例8可利用二元函数的几何意义构造直线，利用判别式解题.此题的解法是利用椭圆的参数方程把求二元函数的最值问题转化为求三角函数的最值问题.
　　例9一般解法是对已知不等式首先取对数再用待定系数法，解法繁琐；或者采用拼凑方法，但技巧性太强，这两种解法都不理想.本题的解法是通过引入两个参数，构造新的对应关系，解法简单明了.
　　三、构造存在实例或反例——存在性问题的构造性解法
　　所谓存在性问题，是指结论中含有“存在”一词的问题，是讨论某一数学对象是否存在，或某一数学对象是否具有某种性质的问题.这种问题的表现形式有肯定型、否定型和讨论型三类.存在性问题的解法有构造性和非构造性的两种.
　　非构造的解法是利用反证法论证具有某种性质的数学对象存在，但不提供求解方法.构造性的解法则不同，不但需要指出数学对象存在的实例或提供怎样求法，而且证明满足题设条件.简言之，就是“构造+证明”.特别指出，反证法在构造法中起着重要作用.
　　例10.（2010江西理，22）证明以下命题：
　　（1）对任一正整数a，都存在整数b，c（b　　（2）存在无穷多个互不相似的三角形△，其边长a，b，c为正整数且a，b，c成等差数列.
　　证明：（1）考虑到结构特征，取特殊值1，5，7，易知成等差数列.只需取b=5a，c=7a，则a，（5a），（7a）也成等差数列，所以对一切正整数a均能成立.
　　（2）结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明能构成三角形，再用反证法证明互不相似，且无穷.（证明略）
　　寻找存在实例常从简单、特殊情况入手探索，这也是构造存在实例常用的方法.一些存在实例往往具有简单、对称、统一、和谐、奇异等数学美的特征，追求数学美是发现存在实例的重要手段；有些存在实例是通过经验归纳和类比猜测获得的，一些具有特殊性质的元素，往往是构造存在实例时要优先考虑的对象.
　　构造法是一种灵活性很强的数学解题方法，没有统一的构造模式，在数学高考中有着广泛的应用.使用构造法解题要求解题者具备扎实的基础知识，敏锐的观察能力，丰富的想象能力和娴熟的转化能力.构造法是一种创造性思维方法，要想提高自己使用构造法解题的能力，在数学学习中应学会积极开动脑筋，主动思考，互动交流，学会善于分析问题与解决问题，并在不断地思考与交流中，经常对同一问题进行不同形式的构造，善于对问题进行灵活的构造和将实际问题抽象为数学模型.长期坚持训练，对于巩固基础知识，培养解题能力，启迪思维具有重要意义，同时我们的创新意识就能不断增强，创新能力就能不断提高，在高考考场上就能做到灵活应试，适时应用构造法快速解答相关考题，赢得宝贵的考试时间，为取得优异的高考成绩奠定基础.
　　
　　参考文献：
　　［1］郑毓信.数学方法论.南宁：广西教育出版社，1991.
　　［2］陈传理，张同君.竞赛数学教程.北京：高等教育出版社，1996.
　　［3］肖柏荣，潘娉姣主编.数学思想方法及其教学示例.南京：江苏教育出版社，2000.