巧构正(长)方

　　摘 要： 正、长方体是立体几何中两个重要模型，其所含的线线、线面、面面的位置关系内容丰富，各种角度及距离均可在其中得以体现。通过构建这两个模型能使复杂问题简单化，抽象问题直观化。
　　关键词： 构建 正（长）方体 立体几何 解题
　　
　　正（长）方体图形对称完美，点、线、面的位置关系、各种角度及距离均可在其中得以体现，堪称立体几何中的“万花筒”.因此在解题中假如能挖掘题设条件，展开联想，构造出相应的正（长）方体，往往能起到化难为易，简捷明了的效果，使人有“柳暗花明又一村”的感觉.
　　1.求几何体的表面积或体积
　　例1.在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是.
　　解析：这个题目直接求解很难，但注意到有三条共点线段两两垂直，且都相等，这是正方体的基本特征，因此可考虑放在正方体中来求解.以PA、PB、PC为棱作正方体，则该正方体的外接球就是题中的球，故正方体的对角线就是球的直径，可得答案3πa.
　　例2.如图1，已知多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为（）
　　A.2 B.4C.8D.9
　　解析：这是一个不规则的多面体，想直接求体积便要通过割补法把多面体分解成若干个规则的多面体来求，这样既麻烦又易出错.但假如把它放在正方体中去就容易得多了.如图2，连BD、BG，易知，V=2，V＝8，因此所求多面体的体积应介于2和8之间，故选B.
　　2.解决点、线、面位置关系问题
　　例3.已知l、m、n为两两垂直、异面的3条直线，过l作平面α与m垂直，则直线n与平面α的关系是 .
　　解析：题目没有图形，确实有些棘手，但注意到正方体里的异面直线、垂直关系很多，又符合题目中两两垂直的条件，能不能放在正方体中来解决呢？实际上只要把正方体画出来（图3）就可以得到答案n∥α.
　　例4.如图4，在空间六边形（即六个点中没有任何五点共面）ABCCDA中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA∥CC，求证：平面ABC∥平面ACD.
　　解析：问题中的空间六边形对于学生来说是比较陌生的，待证平行的两平面在图中不易找到直接的证明线索.但借助正方体的空间衬托（如图5），则可以在正方体中找到相应的空间六边形，那么所证的两平行平面就成为学生十分熟悉的问题了.
　　3.求空间角
　　例5.如图6，过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角（小于或等于90°）的度数是 .
　　解析：这道题是“无棱”二面角问题，而要求二面角的大小则需要得到二面角的棱.尽管可以过点作平行线得到两平面的交线，但此交线与图中其它线面关系不明朗.注意到图中有两两互相垂直的三条直线，可以把图放在正方体中（图7），则易见平面ABP与平面CDP的交线为PE，而且容易得到二面角的平面角为∠DPA=45°.显然，利用了正方体作为辅助图形，使得图形清晰直观，看似棘手的问题也就轻松解决了.
　　例6.如图8，在正四面体SABC，E、F分别是棱SC与棱AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角的大小是 .
　　解析：这道题的常规做法是通过平移作出异面直线所成角，再在所成角所在的三角形中利用余弦定理求解，但这样做的缺点是计算量太大.而由于正四面体的6条棱长相等，而正方体六个面的对角线也相等且刚好能构成一个四面体，因此可以考虑将正四面体SABC放在正方体AMBN-QCPS中（图9），则EF正好是上下底面中心的连线，则EF∥AQ，∠QAS就是异面直线EF与SA所成的角，显然∠QAS=45°，故异面直线EF与SA所成的角的大小是45°.从这道题中可以看出利用正方体除了可以解决一些有两两互相垂直的三条直线的特征的几何体问题外，也可以解决一些正面体的问题，且同样能起到事半功倍的效果.
　　4.求空间距离
　　例7.若空间一点P到两两垂直的射线OA、OB、OC的距离分别为a、b、c，则OP=.
　　解析：这道题初看上去毫无头绪，连图都不知道要怎样画，也不知距离应该怎样找.不妨换种思维，看能不能在同样有两两垂直，有很多垂直关系的长方体中找到点到线的距离.如图10，可证AP⊥OA，则AP表示点P到OA的距离a，同理，PB、PC分别表示点P到OB、OC的距离b、c.显然，OP即为长方体的对角线，求其长需要长方体的长、宽、高，不妨分别设为x、y、z，则有x+y=a，x+z=b，y+z=c，将以上三式相加可得x+y+z=（a+b+c），故OP=x+y+z=（a+b+c），即OP=.
　　例8.如图11，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC=CC=1，∠ABC=90°，求C点到平面ABC的距离.
　　解析：此题可用等体积法，利用V=V求得点C到平面ABC的距离，但过程繁琐，计算麻烦，但若如图12把直三棱柱ABC-ABC补成正方体ABCD-ABCD，则点C到平面ABC的距离就是点C到平面ABCD的距离，取CD的中点O，连结CO，则CO⊥CD，CO⊥AD.又CD⊥AD，垂足为D，∴CO⊥平面ABCD，∵AB=BC=CC=1，∴CO=.∴点C到平面ABC的距离是.
　　5.解决射影问题
　　例9.若直角∠ABC的一边BC∥平面α，BA与α斜交，则∠ABC在平面α上的射影是角.（填“锐”、“直”或“钝”）
　　解析：如图13，在正方体中找到直角∠ABC，易知图中∠AB′C′即∠ABC在面上的射影，显然∠AB′C′=90°即为所求.
　　例10.如图14，已知正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
　　解析：这个问题单凭想象求解难度不小，但若能借助正方体这个模型，便能迎刃而解.将正四面体放入正方体中，使其四个顶点与正方体的四个顶点重合.正四面体的棱长为1，则相对的两条棱互相垂直，且距离为.由于AB∥平面α，所以当CD∥平面α或CD?奂α（即将平面AEBF或平面CHDG作为平面α）时，四面体在α内的射影为正方形，其面积为（最大）；当CD⊥α（即将平面ABHG作为平面α）时，四面体在α内的射影为等腰三角形，其面积为（最小）.
　　总之，利用正（方）体的完美性质，可以变难为易，使难题轻松获解；可以变陌生为熟悉，使问题迎刃而解；可以优化解题途径，使解题过程简捷明快，生动有趣；可以激发学生的学习兴趣，培养创造思维.
　　
　　参考文献：
　　［1］王前.构建正（长）方体巧解特殊三棱锥问题［J］.考试（高考数学版），2009，（z2）.
　　［2］井咱菊.构造正（长）方体解立体几何题［J］.数学爱好者（高考版），2008，（11）.
　　［3］令狐青芳.构建正（长）方体速解立体几何题［J］.运城学院学报，2003，（3）.
　　［4］薛金星.中学教材全解［M］.西安:陕西人民教育出版社，2008.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”