微积分在初等数学中的应用

　　导数是微积分的一部分，是微积分中的一个重要概念，是以极限为基础的.在初等数学中给出了极限、导数的概念和一些相关的结论，但并没有用系统的理论知识推导及证明.但导数在初等数学中确实处于特殊的地位，也可以说是一种解决某些问题的重要工具.本文就是利用导数的基本知识来解决初等数学中的几个问题.在教学中，有机结合教材，适当讲授一些用导数解决一些数学题，不仅能够巩固和加深学生对导数概念的理解，而且对培养学生开阔思路，提高解题能力也是有益的.
　　一、判断函数的单调性
　　函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.
　　例1：讨论y=f（x）=x-3x-9x+41的单调性（x∈R）.
　　解：（1）y′=3x-6x-9=3（x-2x-3）=3（x-3）（x+1）
　　（2）令f′（x）=3（x-3）（x+1）>0?圯x>3或x<-1
　　∴当x>3或x<-1时，f（x）单调递增
　　（3）令f′（x）=3（x-3）（x+1）<0?圯-1　　∴当-1　　例2：求证：当x<0时，arctanx>x.
　　证明：令f（x）=arctanx-x
　　∵f′（x）=-1=<0
　　∴当x<0时，f（x）单调递减
　　∴当x<0时，f（x）>f（0）=0
　　∴当x<0时，arctanx-x>0?圯arctanx>x
　　二、证明不等式
　　例3：求证：e＞1+x（x>0）
　　分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数f（x）=e-1-x，再对f（x）进行求导，得到f'（x）.然后观察得到当x＞0时，f′（x）＞0，即f（x）在x＞0时是增函数.最后可得当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即e＞1+x.
　　解：令f（x）=e-1-x，则
　　f′（x）=e-1＞0
　　∴f（x）在（0，+∞）上是增函数.
　　∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
　　即e＞1+x（x>0）.
　　三、函数的极值（极大值、极小值）
　　1.定义：y=f（x）在x处取极值，且可导，则f′（x）=0，x叫做极值点.
　　2.求极值（利用一阶导数列表求极值）
　　（1）求f′（x），使f′（x）＝0，得解x，x（驻点）
　　（2）找出f′（x）不存在的点x
　　（3）列表：
　　如果f′（x）的符号如上表所示：
　　所以当x=x时，y=f（x）
　　当x=x时，y=f（x）
　　当x=x时，y=f（x）
　　3.求极值（利用二阶导数求极值）
　　（1）求f′（x），使f′（x）＝0，得解x
　　（2）求f″（x）
　　（3）将x代入f″（x）中，求f″（x）的值，若f″（x）>0，则在x取极小值;若f″（x）<0，则在x取极大值;若f″（x）＝0，无法确定.
　　注：函数不存在导数值不存在的点时，利用二阶导数求极值，否则只能用列表法求极值；如利用二阶导数求极值时出现无法确定的情况时，也只能用列表法来求极值.
　　例4:求y=f（x）=x-3x-9x+11的极值.
　　解：（1）y′=f′（x）=3x-6x-9=3（x-3）（x+1）
　　令3（x-3）（x+1）＝0，得解x＝3，x＝-1
　　（2）y″=6x-6=6（x-1）
　　（3）当x=3时，f″（3）=12>0，所以当x=3时，y极小=-16;
　　当x=-1时，f″（-1）=-12<0，所以当x=-1时，y极大=16.
　　四、求函数的最值
　　最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握.
　　例5：设某商品每周生产x单位时总成本C（x）=100+2x，该产品的需求函数为x=800-100P，求能使利润最大的P值.
　　解：（1）∵L=R-C，R=xP，∴R=-100P+800P
　　∵C（x）=100+2x，x=800-100P，∴C=-200P+1700
　　∴L=-100P+800P+200P-1700=-100P+1000P-1700
　　（2）L′=-200P+1000，令L′=0?圯P=5
　　（3）L″=-200<0，∴P=5时，L=L
　　∴能使利润最大的P值为5.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”