新形势下如何搞好高职微积分的教与学

　　摘 要： 本文作者分析了目前高职院校数学课教学的现状，并就如何搞好微积分的教与学提出了几方面的设想。
　　关键词： 高职 数学课 现状 微积分 教与学
　　
　　一、目前高职院校数学课教学的现状
　　首先，随着全国各大高校纷纷扩大招生规模，学生入学的门槛都不同程度地降低，各高职院校的招生更是排在梯队之尾，录取的学生大多是因各种原因上不了本科，或者干脆就是成绩不如人意，只好上高职院校，和同学比起来，心里上有一种失落感，从而使得他们对待学习有种本能的敷衍和不主动的情绪，对待数学学习也不例外。
　　其次，数学课本身的特点注定它不会是学生的最爱。数学是深奥和枯燥的，学习数学的目的在于培养学生严谨的思维能力、快速准确的计算能力和缜密的推理判断能力，而这些能力的培养都离不开坚持不懈的学习。而这正是目前大多高职院校学生所欠缺的。
　　再次，数学课是目前高职院校所有课程系统中极重要而又不断被削减的课程，处境尴尬。
　　一方面，现在各个高职院校普遍更加重视培养学生的各种动手能力，要求考取更多的等级证书，为了保证其他课程相对充裕的课时，只能在基础课上动脑筋，数学课时也因此不断地被削减。另一方面，许多专业课，尤其是机械类、电气类和工程类等专业，又需要更多的数学知识，许多专业课教师抱怨学生数学知识欠缺，而数学课是一门系统性非常强的课程，只能循环渐进，不能建空中楼阁。而系统的讲授需要有更多的课时来保证。这就形成了一个两难的局面。
　　最后，目前各高职院校普遍更加重视专业课师资的建设，对基础课教师的培养则不是那么迫切，对数学教师更是如此。以我所了解的湘西北几所高职院校为例：一方面， 每个班级每学期的课时少，但班级的数量大，教师人手少，每个教师所带的班级多，教师负担极重，平均每个教师每星期的课时大多有10─20节。赶写教案，批改作业就占去了大部分时间和精力，根本无力深钻教材，创新思维，没有机会和外界交流，更是鲜有充电深造的机会，几年一贯制。这也是造成本课程枯燥乏味的一个重要原因。
　　二、如何搞好高职微积分的教与学
　　高职教育介于本科教育和中专教育之间，生源不同，要求不同，教学方法也应相应地调整。
　　根据教育部最新制定的《高职高专教育高等数学课程教学基本要求》，高职院校的数学课程要培养学生良好的推理判断能力、准确的计算能力和一定的自学能力，要求“联系实际，深化概念，加强计算，灵活应用，逻辑论证，勇于创新，提高素质。”要充分做到以应用为目的，以必需够用为度。参照这个要求，对于目前高职院校中学生的特殊情况和师资及课程的特点，如何更好地开展数学教学，搞好微积分的教与学呢?本文有如下几方面的设想。
　　（一）追本溯源，弄清微积分的起源和大致发展的过程。
　　微积分是高等数学的一个重要分支，主要是研究函数的微分、积分，以及有关概念和应用，是建立在实数、函数和极限的基础上的。极限和微积分的概念可以追溯到古代，到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
　　促使微积分产生的因素，归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题;第二类问题是求曲线的切线的问题;第三类问题是求函数的最大值和最小值问题;第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等。
　　微积分包括微分学和积分学。微分学的主要内容有极限理论、导数、微分等；积分学的主要内容有定积分、不定积分等。
　　（二）介绍理论，突出重点。
　　详实介绍各理论，注意突出重点内容，切实教会学生如何求极限，如何求导数微分，如何求积ZaOpnNf2/uQOmkUwp8LFvw==分。根据大纲要求，对高职学生，只需要把微积分的基本概念、基本定理交待清楚，无需过多关注理论的推导和证明，重点在于如何利用这些理论和公式法则来解决问题。以下分三个方面来论述。
　　1.极限理论应当厘清的问题和方法
　　介绍有关极限的理论之后，可以总结求极限的方法大致有几种：观察法，利用无穷小的性质和无穷小的替换，利用两个重要极限，利用洛比达法则，换元法等。
　　例1.求极限：
　　解：1+=1+?摇•1+?摇=e
　　2.导数和微分应当理解的概念和典型题目的典型做法
　　（1）在介绍完导数的来源和定义之后，向学生交待清楚:从代数学的角度来看，导数是个极限值，是个常数，即:=f′（x）==；而从几何学的角度来看，导数是曲线C在定点x的切线的斜率，即:f′（x）=k=tanα其中α是切线的倾角。
　　（2）要求学生熟练掌握求导数求微分的法则与公式，即导数四则运算法则，复合函数求导法则，反函数求导法则，隐函数求导法则，参数方程求导和高阶导的求法。
　　（3）熟练掌握这些公式和法则，是学好微积分的关键和基础，要求学生对这些基本的公式和法则先要理解、认识、熟记，再多做练习，在实践中加以领会，积累解题经验和技巧。
　　例2.求由方程ysinx-cos（x-y）=0所确定的函数y=f（x）的导数.
　　解:两边先对x求导，再解方程，则:
　　（ysinx）′=［cos（x-y）］′?圯y′＝.
　　例3.设y=ecos2x，求dy.
　　解:利用微分形式不变性，则:
　　dy=d（ecos2x）=ed（cos2x）+cos2xd（e）
　　 =-2sin2x•edx-3cos2x•edx
　　 =-e（2sin2x+3cos2x）dx
　　3.积分概念的理解和计算
　　（1）积分包括不定积分和定积分两部分，要让学生明确：不定积分起源于已知导函数求原函数之类的问题，换句话说不定积就是解决求原函数的问题；而定积分起源于计算曲边梯形的面积、变力作功、曲线的长、物体的体积，等等之类的问题；不定积分和定积分是完全不同的概念，把它们有机联系起来的，是Newton—Leibniz公式，即：?蘩f（x）dx=［?蘩f（x）］=F（b）-F（a）。其中F（x）是f（x）的一个原函数。
　　（2）求不定积分的方法主要有直接用公式法（不定积分公式可以从求导公式反推得到，本文略），第一类换元积分法（凑微分法）和第二类换元法积分（包括三角代换法），分部积分法。要让学生明确何时用何种方法，有时可能要几种方法综合运用。
　　例4.求?蘩（4x+5）dx.
　　解:?蘩（4x+5）dx?蘩（4x+5）d（4x+5）=•（4x+5）+C。
　　例5.求?蘩dx.
　　解:令=t?圯x=?圯dx=-dt，
　　原式=-2?蘩dx=-2?蘩1+dt=-2t-ln+C.
　　（3）定积分最初起源于平面图形面积的计算，在介绍完定积分的概念和性质之后，可以总结定积分的求法大致如下：按定义求、按几何意义求、按Newton—Leibniz公式求、用换元法和分部积分法求。当然，前两种方法有时过于繁烦，我们重点要求学生掌握后面三种方法。
　　例6.求?蘩dx。
　　解:原式=?蘩d（1+e）ln（1+e）|=1
　　（三）学习理论，了解微积分的初步应用。
　　1.导数的应用
　　（1）研究函数的性质，作函数的图像。函数的性质包括单调性，极值，最值，凹凸性，拐点，渐近线，最终作出函数比较精确的图形。这是一个重点内容。
　　（2）利用导数求函数的极限。即利用洛比达法则求极限，这也是学生必须掌握的。
　　（3）导数在经济数学的简单应用。这一点在经济类专业中要重点介绍。
　　2.微分的应用
　　主要介绍微分在近似计算中的应用。一方面利用Δy≈dy计算函数改变量的近似值，一方面利用f（x+Δx）≈f（x）+f′（x）Δx或f（x）≈f（0）+f′（0）•x，［x→0］时，计算函数的近似值。
　　3.积分的应用
　　主要介绍定积分的应用，包括:
　　（1）利用定积分计算平面图形的面积;
　　（2）利用定积分计算几何体的体积;
　　（3）利用定积分计算平面曲线的长;
　　（4）利用定积分计算某些物理量，比如液体的压力，变力作的功，物体的引力，几何体重心的测定和质量的计算等。
　　三、结语
　　高职学生是个特殊群体，基础比较差，接受能力相对较弱，这就要求教师因材施教，有针对性地拟定授课计划，既要保证学生能够接受，又要保证在以后的工作和进一步的学习中够用，这是高职教育中的新课题，有待进一步认真研究。
　　
　　参考文献：
　　［1］复旦大学等.高等数学［M］.高教出版社，1988.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”