解答分式问题的技巧

　　在分式的学习中，同学们经常遇到分式的计算、求值、比较大小等问题。解答它们，仅仅依靠分式的基本性质很难奏效，必须注意巧用一定的方法技巧。现举例介绍如下：
　　
　　一、巧用整体
　　例1 已知-=4，则＝_________。
　　分析注意到=，要求其值，应将a-b和ab各视为一个整体，找到它们之间的关系。
　　解 由-=4，得a-b=-4ab。
　　原式＝＝＝6。
　　二、巧用分组
　　例2 计算：+--。
　　分析 原式首尾两个分式和中间两个分式的分母分别相乘正好可巧用平方差公式，且它们的分子相同。
　　解 原式＝-+-＝-＝。
　　三、巧用拆项
　　例3 已知M＝的值为整数，则满足条件的整数a的值等于______。
　　分析M的分子是分母的a倍加3，因此，M可变形成a与另外一个与M同分母的分式的和。
　　解 不难发现，M＝＝a+。
　　因为M、a都是整数，
　　所以也为整数。
　　所以a-4＝±1，或a-4=±3。
　　所以a＝5，3或7，1。
　　所以满足条件的整数a的值为1，3，5，7。
　　例4 实数a、b满足ab≠0，且+=，求a＋b的值。
　　分析 把等式右边的分式变形成两个分式的和，再把分子同为a和同为b的两个分式分别移到等式的两边，问题就可获解。
　　解 原等式化为-=-。
　　所以=-。
　　因为ab≠0，1+a+b≠0，
　　所以=-，1+b=-（1+a）。
　　所以a+b＝－2。
　　四、巧用消元
　　例5 如果a+＝１，b+＝１，那么c+等于（）。
　　A.1B.2C.3D.4
　　分析 第一个等式说明的是a与b的关系，第二个等式说明的是b与c的关系，那么a和c都可用b的代数式表示。
　　解 由a+＝１，b+＝１，得a=，c=。
　　所以原式＝+==2，故选B。
　　五、巧用倒数
　　例6 已知a、b、c、d都是正数，且＜，则A=-与0的大小关系是（）。
　　A.A＞0B.A≥0C.A＜0D.A≤0
　　分析A的两个分式的分子正好是已知不等式的两个分式的分母，要比较A与0的大小关系，可先比较与的大小。
　　解由＜，得＋1＜＋1，即有＜。
　　因为＞0，＞0。
　　所以＞。
　　所以A＝－＞0，故选A。
　　六、巧用化积
　　例7 计算：++。
　　分析原式中第一个分式和第三个分式的分子相同，且分母中有一个相同的公因式，应考虑将这个相同的公因式先提取出来。
　　解原式=++=+=+
　　＝。
　　例8 设a、b、c都为实数，abc≠０，a＋b＝c，则＋＋的值为（）。
　　A.-１B.0C.1D.2
　　分析直接通分计算非常麻烦，应考虑将原式的三个分母分别化为积的形式。
　　解由a＋b＝c，得a＝c－b。
　　所以b2+c2-a2=b2+c2-（c-b）2=2bc。
　　同理c2+a2-b2=2ca，a2+b2-c2=-2ab。
　　原式＝++=1，故选C。
　　七、巧用换元
　　例9 当a＜b＜c时，S=++，则（）。
　　A.S＞0B.S＜0C.S≥0D.S≤0
　　分析 由于c－a＝-[（a-b）+（b-c）]，那么a-b和b-c在S的表达式中重复出现。
　　解 设a－b＝x，b－c＝y，那么c－a＝－（x＋y）。
　　所以S＝+-=。
　　因为a＜b＜c，所以x＜0，y＜0，xy＞0，x＋y＜0。所以x2+xy+y2＞0，xy（x+y）＜0。
　　所以S＜0，故选B。