走进双曲线的图形面积题

　　例1 （湖北省孝感市）双曲线y=与y=在第一象限内的图像如图1所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）。
　　A．1 B．2 C．3 D．4
　　解析 直线AB交x轴于点E，借助反比例函数系数k的几何意义，△AOE的面积等于2，△EOB的面积等于1，由此可得△AOB的面积等于△AOE的面积减去△EOB的面积＝2－1＝1，故选A。
　　点评 本题借助反比例函数中k的几何意义求解面积问题，反比例函数图像上的点（x，y）具有两坐标之积为常数（xy=k），即过双曲线上任一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数xy=k，同时要注意它的演变图形（三角形面积是矩形面积的一半）。
　　例2 （广西南宁市）如图2所示，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图像分别交于点B1、B2、B3，过点B1、B2、B3分别作x轴的平行线，与y轴交于点C1、C2、C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为________．
　　解析 从反比例函数y＝(k≠0)的图像上任意一点向坐标轴作垂线段，它们与坐标轴围成的矩形面积等于k，所以S矩形OA1B1C1＝
　　S矩形OA2B2C2＝S矩形OA3B3C3＝8，把这三个矩形的对角线OB1、OB2、OB3分别连接起来，则有S△OB1C1＝
　　S△OB2C2＝S△OB3C3＝×8＝4。再由A1B1∥y轴、A2B2∥y轴可知，△OB2C2与△OB3C3中的阴影三角形分别与△OB2C2、△OB3C3相似，相似比分别是和，则对应面积比分别为和，由此求得这两个阴影三角形的面积分别为1和，所以图中整个阴影部分的面积之和为4＋1＋＝5。
　　点评 解决此题的关键是理解比例系数k的几何意义，通过构建相似三角形，使问题得以求解与突破。
　　例3 （山东省威海市）如图3，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像交于点A﹙-2，-5﹚、C﹙5，n﹚，与y轴交于点B，与x轴交于点D。
　　（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；
　　（2）连接OA、OC，求△AOC的面积。
　　解析 （1）将A点坐标代入反比例函数表达式，求出m的值，得到反比例函数的表达式；然后将C点坐标代入反比例函数表达式，求出n的值，确定C点坐标；再将A、C两点的坐标代入一次函数表达式即可得到一个关于k、b的二元一次方程组，求出k、b的值，从而得到一次函数的表达式；（2）分别求出△AOB和△BOC的面积，就可以求出△AOC的面积。
　　（1）因为反比例函数y=的图像经过点A﹙-2，-5﹚，所以m=（-2）×（ -5）＝10。
　　所以反比例函数的表达式为y=。因为点C﹙5，n﹚在反比例函数的图像上，所以C的坐标为﹙5，2﹚。
　　因为一次函数的图像经过点A、C，将这两个点的坐标代入y=kx+b，得-5=-2k+b，2=5k+b。解得k=1，b=-3。所以所求一次函数的表达式为y＝x-3。
　　（2）因为一次函数y=x-3的图像与y轴交于点B，所以B点坐标为
　　（0，-3），所以OB＝3。
　　因为A点的横坐标为-2，C点的横坐标为5，所以S△AOC=S△AOB+S△BOC=OB•-2+OB•5=OB•（2+5）=。
　　点评 当图形的面积与反比例函数系数k的几何意义联系不上时，可考虑间接表示相关图形的面积，将不规则图形的面积转化为特殊图形面积来求解。
　　例4 （河南省）如图4，直线y=k1x+b与反比例函数y=（x>0）的图像交于A（1，6）、
　　B（a，3）两点。
　　（1）求k1、k2的值；
　　（2）直接写出k1x+6->0时的取值范围；
　　（3）如图4，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于E，CE和反比例函数的图像交于点P。当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由。
　　解析 （1）将点A（1，6）代入y=，可求出k2=1×6=6，则反比例函数的解析式为y=。又点B在反比例函数y=的图像上，可确定a=2及B（2，3），再利用待定系数法求直线解析式中的b与k1的值，即k1+b=6，2k1+b=3。解得k1=-3，b=9。
　　（2）因为k1x+b-＞0，所以k1x+b＞表示一次函数值大于反比例函数值，观察图像可写出x的取值范围为1　　（3）当S梯形OBCD=12时，PC=PE。设点P的坐标为（m，n），因为BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），所以C（m，3），CE =3，BC=m-2，OD=m+2。
　　所以S梯形OB