反比例函数错解诊断

　　例1 （四川省巴中市中考题）如图1，若点A在反比例函数y=的图像上，AM⊥x轴于点M，△AMO 的面积为3，则k=______。
　　错解：k＝xy＝OM×AM＝S△AMO ＝。
　　诊断：反比例函数的图像在第二象限，所以k＜0，产生错误的原因是误认为OM即为点A的横坐标，其实点A的横坐标为负数，纵坐标为正数，所以AM＝y，而OM＝-x，在解决这类问题时，忽视点的坐标与线段的相互转化是同学们常见的错误。
　　正解：设A（x，y），则OM＝-x，AM＝y，所以k＝xy＝-OM×AM＝-S△AMO＝-。
　　例2 已知函数y＝（k2+k）xk2-k-1是反比例函数，则k的值为（）。
　　A．-1B.1C.0或1D.0或-1
　　错解：由反比例函数的概念有k2-k-1＝-1，解得k＝0或1，所以选C。
　　诊断：形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x的取值范围是x≠0，所以ｙ≠0。应用这一概念解题时要注意：（1）k≠0；（2）x的次数为1；（3）xy＝ｋ。反比例函数的另一种表达形式为ｙ＝ｋｘ-1，此时x的次数为-1，在解决有关问题时要注意这一点。
　　正解：方法一：由反比例函数的概念有k2-k-1=-1，k2+k≠0。解得k＝1，故选B。
　　方法二：将选择支代入函数表达式，当k＝-1或0时，k2+k＝0，不符合反比例函数的概念，故排除k＝-1和k＝0；当k＝1时，k2+k＝2，k2-k-1＝-1，符合反比例函数的概念，故选B。
　　例3 （广西梧州市中考题）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=（k＞0）图像上的两点，若x1＜0＜x2，则有（）。
　　A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0
　　错解：在反比例函数y=中，由于k＞0，所以由反比例函数的性质可知，y随x的增大而减小。又由条件x1＜0＜x2，可知选B或D。
　　诊断：反比例函数的图像是双曲线，当k＞0时，它的图像在第一、三象限，在图像所在的象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，它的图像在第二、四象限，在图像所在的象限内，y随x的增大而增大。研究反比例函数的增减性，一定要注意它所在的象限。函数的增减性是指在同一个象限内的增减性。而本题中的两个点不在同一个象限中，所以不能直接应用反比例函数的性质。事实上，点A在第三象限，它的横坐标与纵坐标都是负数，而点B在第一象限，它的横坐标与纵坐标都是正数，所以应该选A。
　　正解：方法一：因为点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=（k＞0）图像上的两点，且x1＜0＜x2，所以y1＜0，y2＞0，所以y1＜0＜y2，故选A。
　　方法二：令k＝1，则有y1＝，y2＝，因为x1＜0＜x2，所以＜0＜，
　　即y1＜0＜y2，故选A。
　　方法三：如图2，作出反比例函数y=（k＞0）的图像（草图）。
　　在x轴上取x1和x2，使其满足x1＜0＜x2，分别过这两个点作x轴的垂线交反比例函数的图像于A点和B点，由其纵坐标的值易知有
　　y1＜0＜y2，故选A。