全等三角形创新题赏析

　　全等三角形是初中数学的重要内容。近几年各地的中考试题已经不仅仅局限于考查全等三角形的概念、判定等基础内容，考查同学们的探索发现能力和创新思维能力已经成为中考试题中的一个亮点。现采撷几例加以归类解析，希望对大家有所帮助。
　　
　　
　　例1 （2010年福建省泉州市）如图1，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，请在下列四个等式中，
　　①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF。选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF，并予以证明。（写出一种即可）
　　已知：____________，____________。
　　求证：△ABC≌△DEF。
　　解析 已知：①④（或②③、或②④），
　　证明：因为BE=CF，所以BE+EC=CF+EC，即BC=EF。
　　在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF。
　　所以△ABC≌△DEF。
　　点评 本题考查了全等三角形识别的方法，解答时要求吃透全等三角形每一个识别方法的涵义，结合图形来证明。
　　
　　
　　例2 （2010年辽宁省阜新市）如图2①所示，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点。
　　（1）如图2①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C、D，且AD=DC，试判断AE是∠FAD的角平分线吗？（不必说明理由）
　　（2）如图2②，如果(1)中的条件去掉“AD=DC”，其余条件不变，（1）中的结论仍成立吗?请说明理由。
　　（3）如图2③，如果(1)的条件改为AD∥FC，（1）中的结论仍成立吗？请说明理由。
　　■
　　解析 （1）AE是∠FAD的角平分线，
　　（2）成立，延长FE交AD延长线于点B，因为E是DC的中点，
　　所以EC=ED。∠FEC=∠DEB，∠FCE=∠EDB＝90°，
　　所以△FCE≌△BDE，所以FE=EB。
　　在△AFB中，点E是FB的中点，AE⊥FB，
　　所以AE是∠FAD的角平分线。
　　（3）成立，延长FE交AD的延长线于点B，∠FEC=∠DEB，EC=ED。
　　因为FC∥AD，所以∠FCE=∠EDB。
　　所以△FCE≌△BDE，所以FE＝EB。
　　所以在△AFB中，AE是∠FAD的角平分线。
　　点评 本题不断改变条件，探索在不同的条件下结论是否成立，再通过推理论证的思维方法分别进行论证。
　　
　　例3 （2010年四川省内江市）如图3，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE＝90°，AE交CD于点F，BD交CE、AE于点G、H，试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由。
　　解析 猜测AE=BD，AE⊥BD。
　　理由如下：
　　因为∠ACD=∠BCE=90°，
　　所以∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB。
　　因为△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
　　所以AC=CD，CE=CB。
　　所以△ACE≌△DCB，所以AE=DB，∠CAE=∠CDB。
　　因为∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°。
　　所以AE⊥BD。
　　点评 猜想型试题是通过对命题的结构特征、相应的图形等进行实验、观察、归纳、类比、联想，从而提出结论或论断；或者是对题设和结论整体观察，从而猜想出解决问题的方案或方法。