两线联

　　学习了全等三角形，接触了轴对称，同学们有两个重要的收获：一个是角平分线的性质，另一个是线段垂直平分线的性质。这两个性质中的两线联姻，可以轻松解决许多疑难问题，现举例说明。
　　一、解决计算问题
　　 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，若CE＝
　　3 cm，则点E到AB的距离ED是（）
　　A.5 cmB.4 cm
　　C.3 cmD.2 cm
　　分析 已知线段CE，要求线段DE，由于∠C＝90°，DE是线段AB的垂直平分线，此时，若能说明AE是∠BAC的角平分线即可，而事实上，由条件可说明∠B=∠BAE＝∠CAE＝30°，进而求解。
　　解 因为∠C＝90°，∠B＝30°，所以∠BAC＝60°，又因为DE是线段AB的垂直平分线，所以AE＝BE，∠B＝∠BAE＝30°，即AE是∠BAC的角平分线，而∠C＝∠ADE＝90°，CE＝3 cm，所以ED＝CE＝3 cm，故答案选C。
　　点评 本题以直角三角形为载体，既考查了角平分线性质的简单应用，又考查了线段的垂直平分线性质的简单应用，是一道比较典型的有关角平分线和垂直平分线性质的问题。
　　二、解决说理问题
　　如图2所示，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF＝CG吗？说明理由。
　　分析 由图形中的线段BF和CG的位置，自然会想到要利用全等三角形来证明，而此时由条件可以说明BE＝CE，EF＝EG，又知△EFB和△EGC都是直角三角形，进而解决问题。
　　解 BF＝CG。理由：连接BE、CE，因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE＝CE。
　　又因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF＝EG。
　　在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE＝CE，EF＝EG，
　　所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL），BF＝CG。
　　点评 要判定线段BF与CG是否相等，应从条件和图形出发。本题中提供的两个条件，让我们想到要利用角平分线和线段垂直平分线的性质来解决问题。
　　三、解决生活中的应用问题
　　 如图3，OA、OB是两条相交的高速公路，C、D是两个居民小区，现要建一座加油站，要求这座加油站必须到两条高速公路的距离相等，到两个小区的距离也要相等，请按照要求作出加油站P的位置。
　　分析 根据要求，我们可以联想到角平分线与线段的垂直平分线性质，进而作出符合要求的加油站点P的位置。
　　解 如图3所示，（1）设OA、OB是交于O点的高速公路，作∠AOB的平分线OE。
　　（2）连接CD，作线段CD的垂直平分线MN，与射线OE相交于点P。
　　则点P即为所要建的加油站。
　　点评 角平分线与线段的垂直平分线性质也可以用来解决生活中的实际问题。