与角平分线有关的辅助线作法

　　辅助线是解几何题的重要工具，也是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁。与角平分线有关的辅助线有哪些呢？下面结合例题归纳三类与角平分线有关的常见辅助线作法，供同学们参考。
　　1.在某角的两边上取相等的线段，利用此角的平分线构造全等三角形证题。
　　已知：如图1，AD是△ABC的中线，DE、DF分别平分∠ADB、∠ADC，连接EF，求证：EF＜BE+CF。
　　分析 要证明线段不相等，可利用三角形三边关系定理求证，也就是把EF、BE、CF放到同一个三角形中去，而DE、DF是角平分线，如在AD上取点N，使DN=BD=CD，并连接NE、NF，则有△BDE≌△DNE，△DCF≌△DNF，从而有BE=NE，CF=NF，于是把BE、CF、EF移到同一个三角形中，从而使问题得证。
　　证明 在直线AD上截取DN=BD=CD，连接NE、NF，
　　因为DE平分∠ADB， 所以∠1=∠2。 又因为BD=ND，DE=DE，
　　所以△BDE≌△NDE， 则BE=NE。 同理可证CF=NF。
　　因为NE+NF＞EF， 所以EF＜BE+CF。
　　
　　2.过某角平分线上一点，引角两边的垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。
　　 已知：如图2，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2。
　　求证：BC=AB+AD。
　　分析 如过D作DE⊥BC，则由角平分线的性质得AD=DE，△ABD≌△EBD，于是有AB=BE，再结合等角对等边得DE=CE，从而使问题得证。
　　证明 过D作DE⊥BC于E，
　　因为∠1=∠2，且AD⊥AB，DE⊥BC，所以AD=DE。
　　又因为BD=BD，所以Rt△ABD≌Rt△EBD。所以AB=BE。
　　因为AB=AC，∠A=90°，所以∠ABC=∠C=45°，则∠EDC=∠C=45°。
　　所以DE=CE。所以BC=BE+EC=AB+AD。
　　3.从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截得一个等腰三角形，再利用三线合一的性质证题。
　　 已知：如图3，∠1=∠2，AB＞AC，CD⊥AD于D，H是BC的中点。
　　求证：DH= （AB-AC）。
　　分析 题目中有中点H，要证明一条线段等于另一条线段的一半，可利用中位线去证明，如延长CD交AB于点E，则△AED≌△ACD，有CD=ED，AC=AE，从而DH= （AB-AC）。
　　证明 延长CD交AB于E，连接DH。
　　因为AD⊥CE，所以∠ADC=∠ADE=90°。
　　又因为∠1=∠2，AD=AD，所以△AED≌△ACD，所以CD=ED，AC=AE。
　　因为BH=CH，所以DH=BE=（AB-AC）。