灵活运用“三线合一”性质

　　“三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，指的是等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合。运用该性质解题时，要注意如下三方面：
　　一、等腰三角形底边上的中线，既是顶角的平分线，又是底边上的高线
　　 如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF。
　　分析 依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上。
　　证明 连接AD。
　　因为AB＝AC，BD＝CD，
　　所以AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，
　　则点D在∠BAC的平分线上。
　　因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
　　所以DE＝DF。
　　点评 本题的解答运用了等腰△ABC底边BC上的中线AD一定是顶角∠BAC的平分线的性质。
　　如图2，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD。
　　分析 注意到点F是CD的中点，若连接AC、AD，那么AF是△ACD的中线。要证明AF⊥CD，只要证明△ACD是等腰三角形。
　　证明 连接AC、AD。
　　因为AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，
　　所以△ABC≌△AED。
　　所以AC＝AD，△ACD是等腰三角形。
　　因为点F是CD的中点，
　　所以AF是等腰△ACD底边CD上的高线，
　　则AF⊥CD。
　　点评 本题的解答运用了等腰△ACD底边CD上的中线AF一定是底边CD上的高线的性质。
　　二、等腰三角形顶角的平分线，既是底边上的高线，又是底边上的中线
　　如图3，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P是AD上的一点，求证：AB－AC＞PB－PC。
　　分析 要证明四条线段之间的不等关系，应把这四条线段转化为同一个三角形中的三边。为了得到AB－AC的结果，可在AB上截取AE＝AC，则有BE＝AB－AC。为此，只要证明BE＞PB－PC。
　　而BE＞PB－PE，这样只要证明PE＝PC。
　　证明 在AB上截取AE＝AC，连接PE、CE，CE交AD于F。
　　因为AE＝AC，AD平分∠BAC，
　　所以AF既是等腰△ACE底边CE上的高线，又是等腰△ACE底边CE上的中线。
　　所以AF是CE的垂直平分线。
　　因为P在AF上，所以PE＝PC。
　　因为BE＞PB－PE，BE＝AB－AE，
　　所以AB－AC＞PB－PC。
　　点评 本题的解答运用了等腰△ACE顶角∠CAE的平分线AF一定是底边CE上的高线，同时又是底边CE上的中线的性质。
　　 如图4，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD＝∠BAC。
　　分析 为了得到∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线。这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系。
　　证明 作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠1＝∠2＝∠BAC。
　　因为AB＝AC，AE平分∠BAC，
　　所以AE⊥BC于点E。
　　即∠AEC＝90°，∠1＋∠C＝90°，
　　因为BD⊥AC于点D，
　　所以∠BDC＝90°，∠CBD＋∠C＝90°。
　　则∠CBD＝∠1＝∠BAC。
　　点评 本题的解答运用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线AE一定是底边BC上的高线的性质。
　　三、等腰三角形底边上的高线，既是底边上的中线，又是顶角的平分线
　　 如图5，在△ABC中，AB＝AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD＝AE，求证：DE⊥BC。
　　分析 注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与BC垂直。要证明DE⊥BC，应先证明DE与这条高平行。
　　证明 经过A作AF⊥BC于F。
　　因为AB＝AC，AF⊥BC于F，
　　所以AF是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，且AF平分∠BAC，
　　即∠BAC＝2∠BAF。
　　因为AD＝AE，所以∠D＝∠AED。
　　所以∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D。
　　所以∠BAF＝∠D，DE∥AF。
　　所以DE⊥BC。
　　点评 本题的解答运用了等腰△ABC底边BC上的高线AF一定是顶角∠BAC的平分线的性质。