不可压缩的修正Varga材料组成的矩形密封圈的径向振动

袁学刚，王俊芳，朱隆基，刘小薇

(1.大连民族学院理学院，辽宁大连116605;

2.辽宁师范大学数学学院，辽宁大连 116029)

不可压缩的修正Varga材料组成的矩形密封圈的径向振动

袁学刚1，王俊芳2，朱隆基1，刘小薇1

(1.大连民族学院理学院，辽宁大连116605;

2.辽宁师范大学数学学院，辽宁大连 116029)

研究了由一类关于径向横观各向同性不可压缩的修正Varga材料制成的矩形橡胶密封圈在内表面突加的径向载荷作用下的振动与控制问题，得到了描述密封圈径向运动的非线性常微分方程。对于给定的材料参数和结构参数，通过数值算例求得了一个临界载荷。证明了当突加载荷小于临界载荷时，密封圈随时间的运动将是非线性周期振动;超过临界载荷时，密封圈随时间的增长将会无限增大，最终会被破坏。

硫化橡胶密封圈;有限变形;径向载荷;周期振动

1 概述

橡胶材料具有复杂的分子特性以及材料和几何的双重非线性性质，如天然橡胶、合成橡胶和合成纤维等高分子(聚合物)材料，等等。从力学性能上讲，橡胶材料属于典型的非线性弹性材料范畴。由于橡胶材料的制品都是在一定环境和载荷下使用的，它们都会遇到变形、失稳、使用寿命有限以及破坏等问题，使得相关问题的研究一直是人们关注的焦点。

橡胶密封圈以其结构简单和自身特点已被广泛应用于机械工程、航空航天、石油化工等领域。与其他类型的橡胶密封圈相比，矩形橡胶密封圈具有许多优势，如老化较慢、稳定性好、密封性强、密封压力高等特点。如液压阀的平面各油口，有杆抽油机井口光杆处的密封等，均采用矩形橡胶密封圈;同时多种同轴组合密封圈中，也采用矩形橡胶圈作为弹性体［1－2］。橡胶密封件在制备、安装和使用中都会遇到几何非线性、物理非线性和接触非线性等问题，目前已取得了一些基于有限元方法的研究成果［3－6］，这些文献模拟了橡胶密封圈的压缩变形过程、压缩反力、接触应力等方面的内容。在解析方法方面，关于橡胶材料组成的各种结构的有限变形问题的研究成果也已相当丰富，如圆筒受内压、圆柱体的扭转、长方体的弯曲、气球的膨胀等等［7－8］。最近，Cohen 和 Durdan［9］研究了一类橡胶材料组成的圆形薄板中静态空穴现象。然而，关于橡胶密封圈在各种形式载荷作用下的有限变形问题的研究还相对较少，特别是对相关问题的动力学响应方面的研究至今鲜有文献报导。

本文基于非线性弹性材料和结构的有限变形理论，研究了硫化橡胶密封圈的径向振动和控制问题。第二节中首先考虑了一类关于径向横观各向同性的硫化橡胶材料的本构模型，然后建立了在内表面突加的径向载荷作用下，不可压缩的矩形橡胶密封圈径向振动问题的数学模型，并求得了描述矩形橡胶密封圈径向运动的微分方程。第三节中通过数值模拟的方法对微分方程的解进行了定性分析，讨论了材料参数、结构参数和径向载荷对解的定性性质的影响;证明了当突加的径向压力较小时，密封圈随时间的运动将是非线性周期振动;给出了橡胶圈随时间运动将会破裂的临界载荷。

2 问题的数学描述与求解

2.1 本构模型

文中所指非线性弹性材料，又称为Green弹性材料，它的本构关系可完全由其应变能函数描述，即

式中，F为物体产生有限变形时的变形梯度张量，λ1，λ2，λ3为变形梯度张量F的主伸长。对于不可压缩的非线性弹性材料，约束条件为λ1λ2λ3=1，对应的Cauchy应力张量的主值为

且式中的i不表示求和，p为对应于不可压缩材料的静水压力。

文中考虑一类横观各向同性的不可压缩修正Varga材料模型，其应变能函数的形式为［10］

式中，μ为材料产生无穷小变形时的剪切模量，a和b是满足a+b=2的两个无量纲材料参数，β≥0是衡量材料关于主方向λ1各向异性程度的无量纲参数。易见，当β=0时，式(3)便对应于各向同性的修正Varga材料模型［11］，该模型最初用来模拟硫化橡胶材料。

2.2 数学模型

对于由不可压缩的硫化橡胶材料模型(3)制成的矩形橡胶密封圈，考察其内表面受到均布的突加载荷作用时的径向振动问题。假设橡胶密封圈在变形过程中厚度不发生变化，且变形前后的柱坐标系分别为(R，Θ，Z)和(r，θ，z)。进一步地，在轴对称变形和平面应变的假设下，变形前后的构形分别为

式中，r(R，t)为描述橡胶圈径向运动的待定函数。相应的变形梯度张量的主伸长为

忽略体积力的作用时，描述橡胶圈径向对称运动的微分方程为

式中，ρ0为材料的密度;σrr，σθθ分别为对应于式(2)的径向和环向应力，即(1，2)对应于(r，θ)。

由于橡胶密封圈的内表面受到突加的径向压力ρ0的作用，而外表面是无约束的，因此相应的边界条件为

在初始时刻，即t=0时，橡胶圈处于静止和未变形状态，相应的初始条件为

2.3 解

由材料的不可压缩条件λ1λ2λ3=1和式(6)可得

式中，c(t)是一个待定的积分常数，它描述了橡胶圈在时刻t沿径向运动的位置。

将式(3)代入式(2)和式(7)，然后再将得到的表达式关于r从r1到r积分，则得静水压力的表示式为

3 密封橡胶圈的径向振动

由式(18)可知，对任意的正数 x和 δ，U(x，δ)＞0。因此，只有 V(x，β，δ，p0) ＜0 时，方程(19)才可能有解存在。对于给定的结构参数δ、径向各向异性参数 β 和载荷 p0，V(x，β，δ，p0)与 x 之间的关系曲线如图1，方程(15)满足初始条件(16)的相图如图2—图4，其中v=(ρ0/μ)1/2B˙x。

由常微分方程的定性理论可知，若方程的相图是封闭曲线，则方程必有周期解。

由图2可见，对于给定的结构参数δ和材料参数β，存在一个临界压力pcr，使得当p0≤pcr时，方程(15)满足初始条件(16)的相图是光滑的闭凸轨线;当p0＞pcr时，方程的轨线不再封闭。因此可以断言，当突加在密封圈内表面的压力小于临界载荷时，橡胶密封圈随时间的运动将是非线性的周期振动;当压力超过临界载荷时，橡胶密封圈随时间的增加而无限增大，即密封圈最终将会破裂。由图3可见，对于给定的材料参数β和临界载荷pcr，结构参数δ越小，橡胶密封圈越容易破裂;由图4可见，对于给定的结构参数δ和临界载荷pcr，关于径向横观各向同性的材料参数β越小，橡胶密封圈越容易破裂。

图1 对于给定的δ和β，p0/μ取不同值时V(x，β，δ，p)与 x 之间的关系曲线

图2 对于给定的δ和β，p0/μ取不同值时方程(15)满足初始条件(16)的相图

图3 对于给定的β和pcr/μ，δ取不同值时方程(15)满足初始条件(16)的相图

图4 对于给定的δ和p0/μ，β取不同值时方程(15)满足初始条件(16)的相图

4 结论

本文讨论了材料参数、结构参数和径向载荷对径向横观各向同性不可压缩的修正Varga材料组成的硫化橡胶密封圈的径向振动的影响。通过对描述橡胶密封圈的径向运动的微分方程的定性分析和数值模拟，证明对于任意给定的材料参数和结构参数，存在一个临界压力，当在密封圈内表面突加的载荷小于临界压力时，橡胶密封圈随时间的运动是非线性周期振动;然而当突加载荷超过临界压力时，橡胶密封圈随时间的增加最终将会破裂。

［1］俞鲁五.介绍一种静密封用密封件——矩形密封圈［J］.流体传动与控制，2006(3):44－46.

［2］马春成，荀昊，王兆元，等.有杆抽油机井口光杆密封的发展［J］.石油矿产机械，2001，30:17－20.

［3］崔莉，马宁，徐国红.用模具和设备保证矩形橡胶密封圈的质量［J］.特种橡胶制品，2003，24:48－49.

［4］谭晶，杨卫民，丁玉梅，等.矩形橡胶密封圈的有限元分析［J］.润滑与密封，2007，32:36－39.

［5］周到，史敏，王磊，等.空气源热泵热水机组压缩机矩形橡胶圈的有限元分析［J］.机械设计与制造，2009，6:144－146.

［6］陈鑫，吴福迪，王立峰，等.大缝隙密封的几种异型截面橡胶密封结构的有限元分析［J］.强度与环境，2009，36(4):1－5.

［7］BEATTY M F.Topics in finite elasticity:Hyperelasticity of rubber，elastomers，and biological tissues— with examples［J］.Applied Mechanics Review，1987，40(12):1699－1733.

［8］FU Yibin，OGDEN R W.Nonlinear Elasticity:Theory and Applications［M］.London Math:Society Lecture Note Series，2001.

［9］COHEN T，DURDAN D.Cavitation in elastic and hyperelastic sheets［J］.International Journal of Engineering Science，2010，48:52－66.

［10］YUAN Xuegang，ZHU Zhengyou，CHENG Changjun.Study on cavitated bifurcation problems for spheres composed of hyper－ elastic materials［J］.J.Engin.Math.，2005，51(1):15－34.

［11］HILL J M，ARRIGO D J.New families of exact solutions for finitely deformed incompressible elastic materials［J］.IMA J.of Applied Mathematics，1995，54:109 －123.

Radial Oscillation of Rectangular Sealing Rings Composed of
Incompressible Modified Varga Materials

YUAN Xue－gang1，WANG Jun－fang2，ZHU Long－ji1，Liu Xiao－wei1
(1.College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116600，China;
2.School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China)

The oscillation and control problem has been examined for a vulcanized rubber sealing ring composed of a class of transversely isotropic incompressible modified Varga materials about radial direction，where the sealing ring is subjected to a suddenly applied radial load at its inner surface.A nonlinear ordinary differential equation that describes the radial motion of the sealing ring has been developed.For the given material and structure parameters，a critical load has been obtained by numerical examples.It is proved that if the applied load is lower than the critical load，the motion of the rubber ring with time will present a nonlinear periodic oscillation，while if it exceeds the critical load，the motion will increase infinitely with the increasing time and so the rubber ring will be destroyed ultimately.

vulcanized rubber sealing ring;finite deformation;radial load;periodic oscillation

O343

A

1009－315X(2011)05－0465－04

2011－05－25

国家自然科学基金面上项目(10872045);教育部优秀人才支持计划 (NCET－09－096);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(DC10030104)。

袁学刚(1971－)，男，吉林桦甸人，教授，博士，学校优秀学术带头人，硕士生导师，主要从事非线性问题的解析解法和数值解法研究。

(责任编辑 邹永红)