一类改进的Ostrowski方法*

于双红， 何国龙

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

求解非线性方程是数值计算中一个非常重要的问题，本文考虑求解非线性方程f(x)=0单根的迭代法，其中f:D⊆R→R是一个单值非线性函数，D为实数域上的一个开区间．

2阶收敛的牛顿法是解非线性方程最重要也是最基础的方法之一，其效率指数为1．414，迭代格式为

近年来，为更快、更精确地求得非线性方程的近似解，在牛顿法的基础上作了一系列的改进，得到一些著名的方法．例如 Jarratt方法［1-2］、Chebyshev-Halley 方法［3］和 Ostrowski方法［4-11］．4 阶收敛的 Ostrows-ki方法要求计算2个函数值和1个一阶导数值，其效率指数为1．587，迭代格式为

文献［5］和文献［6］分别得到一类收敛阶为6的Ostrowski改进方法，其效率指数为1．565，迭代格式分别为:

和

文献［7］提出了一类收敛阶为7的改进的Ostrowski方法，效率指数为1．627，迭代格式为

文献［8］提出了收敛阶为8的改进的Ostrowski方法，其效率指数为1．682，迭代格式为

文献［10］提出了收敛阶为8的改进的Ostrowski方法，迭代格式为

文献［11］也提出了收敛阶为8的改进方法，迭代格式为

本文提出的一类新的改进Ostrowski方法，每一步迭代只需求3个函数值和1个一阶导数值，并从理论上、试验中证明新方法的收敛阶为8．

1 相关概念

定义1［12］设α是充分光滑函数 f:D⊆R→R的单根，D是开区间，并假设迭代序列{xn}(n=0，1，2，…)收敛于 α，且存在p≥1及常数C＞0，使得当 k≥k0时，‖xn+1－α‖≤C‖xn－α‖p，则称序列{xn}至少p阶收敛，称C为渐进误差常数．当p=1，0＜α＜1时，称序列{xn}至少线性收敛;当p=2，α＞0时，称序列{xn}为至少平方收敛．设en=xn－α，则称关系式en+1=Cepn+O(ep+1n)为误差方程，称p为收敛阶．

定义2［12］若一个收敛于α的序列{xi}i∈N的收敛阶为p，每迭代一步的工作量为w，则称e=p1/w为效率指数．

定义3［12］设 xn+1，xn，xn－1(n=1，2，…)是根 α 附近的3个连续的迭代值，则收敛阶近似地表示为

2 主要结果

本文主要考虑如下迭代式:

式(3)中:

定理1 设函数f:D⊆R→R有单根α∈D，D为开区间，f(xn)在α附近足够光滑，W(t，s)是满足W(0，0)=1，Wt(0，0)=1，Ws(0，0)=0，|Wtt(0，0)|＜∞，|Wts(0，0)|=|Wst(0，0)|＜ ∞，|Wss(0，0)|＜∞的实函数，则由式(3)和式(4)定义的迭代方法的收敛阶为8．

经Maple计算得

将f(yn)在α处泰勒展开，得

由式(5)～式(8)得

则

因而

由式(10)～式(13)可得

即

定理1证毕．

由定理1，可以将式(3)进一步一般化，得到迭代式

式(15)中，λn，vn的意义与式(4)相同．

定理2 设函数f:D⊆R→R有单根α∈D，D为开区间，f(xn)在α附近足够光滑，H(u)是满足H(0)=0，H'(0)=1，H"(0)=4，H(3)(0)=24 的实函数，W(t，s)是满足 W(0，0)=1，Wt(0，0)=1，Ws(0，0)=0，|Wtt(0，0)|＜∞，|Wts(0，0)|=|Wst(0，0)|＜ ∞，|Wss(0，0)|＜ ∞ 的实函数，则由式(15)定义的迭代方法的收敛阶为8．

证明 将H(vn)在0处泰勒展开，得

则

将式(9)代入式(17)得

化简式(18)得

令 H(0)=0，H'(0)=1，H"(0)=4，则 zn= α +LX．其中

因此

由式(9)、式(20)和式(21)可得

其中:

令 γ1=0，γ2=0，γ3=0，γ4=0，则

定理2证毕．

例 1 取 W(t，s):=1+t+ αts，则

式(23)中，α∈R．误差方程为

式(24)中，α∈R．误差方程为27234589

误差方程为

由式(3)、式(4)和式(15)定义的方法每一步迭代需要计算3个函数值和1个一阶导数值，根据定义2，新定义的迭代方法的效率指数是81/4≈1．682，均高于Ostrowski方法的效率指数41/3≈1．587，6阶改进方法［4-6］的效率指数61/4≈1．565 及7 阶的改进方法［7］效率指数71/4≈1．627．

3 数值试验

下面将通过数值试验比较各方法的差异．考虑式(1)、式(2)和式(23)～式(25)5种8阶迭代法(α=1，β=1)，所有的计算均在800位精度Maple 14下进行操作，被测函数在不同的方法中均迭代3次后得到的xn－α和|fi(xn)|及COC如表1所示．选择的被测函数为:

表1 迭代3次得到的xn－α和|fi(xn)|及COC

从表1可以看出，在相同的计算量、相同的界下，本文提出的方法是有效的．

［1］Kou J S，Li Y T．An improvement of the Jarratt method［J］．Applied Mathematics and Computation，2007，189(2):1816-1821．

［2］Ren Hongmin，Wu Qingbiao，Bi Weihong．New variants of Jarratt's method with sixth-order convergence［J］．Numer Algor，2009，52(4):585-603．

［3］Li Yaotang，Zhang Peiyuan，Li Yanyan．Some new variants of Chebyshev-Halley methods free from second derivative［J］．International Journal of Nonlinear Science，2010，9(2):201-206．

［4］Miquel G，José Luis D B．An improvement to Ostrowski root-finding method［J］．Applied Mathematics and Computation，2006，173(1):450-456．

［5］Sharma J R，Guha R K．A family of modified Ostrowski methods with accelerated sixth-order convergence［J］．Applied Mathematics and Computation，2007，190(1):111-115．

［6］Changbum C，Yoonmee H．Some sixth-order variants of Ostrowski root-finding methods［J］．Applied Mathematics and Computation，2007，193(2):389-394．

［7］Kou Jisheng，Li Yitian，Wang Xiuhua．Some variants of Ostrowski's method with seventh-order convergence［J］．Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，209(2):153-159．

［8］Kou Jisheng，Wang Xiuhua．Some improvements of Ostrowski's method［J］．Applied Mathematics Letters，2010，23(1):92-96．

［9］Kou Jisheng．Some new root-finding methods with eighth-order convergence［J］．Sci Math Roumanie Tome，2010，53(2):133-143．

［10］Zhang G F，Zhang Y X．New family of eighth-order methods for nonlinear equation［J］．COMPEL，2009，28(6):1418-1427．

［11］Sharma J R，Sharma J N．A new family of modified Ostrowski's methods with accelerated eighth order convergence［J］．Numer Algor，2010，54:445-458．

［12］Burden R L，Faires J D，Reynolds A C．Numerical analysis［M］．Boston:Prindle，Weber Schmidt，1981．