单平台下参数化产品族设计的两阶段智能优化算法

王克喜 袁际军 陈为民 全春光

1.湖南科技大学，湘潭，411201 2.广东商学院，广州，510320

0 引言

产品族因其能有效实现大规模定制的思想而成为过去十几年来一个非常活跃的研究课题，并受到越来越多的关注。在激烈的市场竞争条件下，许多企业开始通过细分市场网格来提供满足细分市场的一族产品以获取竞争优势。然而，不同性能的产品数量激增，又使得企业的产品开发成本、制造成本、库存成本以及物流成本等开始迅速增加。为了控制这类成本的增加，一种可行的方式是通过分析定位于该细分市场的这组产品的内在特征，来对该组产品进行重组或重设计，通过提高该组产品的共性来达到降低成本的目的。

参数化产品族设计最早由Rothwell等[1]提出，随后以 Simpson等[2－4]为代表的学者对参数化产品族设计做了大量的研究工作。通常，客户的需求是多元的，如对质量的要求、对产品外观的要求、对价格的要求、对产品性能的要求等，这导致企业提供给客户的产品需要符合多个个性化的约束和目标。对企业而言，客户对产品的这些要求将转化为企业生成这些产品的技术约束和目标，如对产品设计参数的限制、对产品生产成本的要求等。

在参数化产品族设计中，对产品族设计变量的最优划分，即平台变量（平台通用性）和个性化变量（产品差异性）的划分，以及变量取值的最优设置，构成了参数化产品族优化设计的主要内容。参数化产品族设计以数学模型为基础，由于计算量大，故基于进化算法的方法成为近年来参数化产品族设计的研究热点。对于基于产品结构分析的平台通用性和实例产品性能的权衡优化模型，Nelson等[5]用多目标遗传算法进行求解，获得了Pareto前沿，由设计人员权衡选择最优的产品族设计方案，这是最早的应用遗传算法的参数化产品族设计方法。为了维持解集的多样性以及Pareto前沿的收敛性，Simpson等[4]提出了非支配排序遗传算法（non－dominated sorting genetic algorithmⅡ，NSGA－Ⅱ）用于求解参数化产品族多目标优化问题，他们给出了单平台产品族控制层与变量层染色体表达方式，并用NSGA－Ⅱ衡量通用性等级与产品性能的权衡关系。Dai等[6]使用偏好聚合（preference aggregation，PA）描述产品族的平台常量和可调节变量，对建立的数学模型用遗传算法求解，其不足之处在于对于大规模问题效果不理想。Thevenot等[7]将遗传算法和产品族通用性指数相结合，提出了参数化产品族的再设计优化，该方法提高了求解的准确性，但没有得到多目标优化的Pareto集。

上述方法在产品族通用性指数的构建、平台变量与个性化设计变量的优选上取得了一定的进展，不足之处在于，平台变量的选取方面客观性不强，算法的复杂性较高，对平台变量取值和个性化变量取值在优化过程中存在的相互影响考虑不够等。本文主要研究单平台条件下，针对每个客户的个性化要求，单独设计并开发出符合客户需求而形成系列产品的产品族。基于参数化产品族优化问题的复杂性，提出两阶段优化方法，采用拥挤距离排序的多目标多约束遗传算法（crowding distance sorting multi－objective genetic algorithm，CDSMOGA）求解单平台下的产品族优化问题。基于通用电动机产品族的实证表明提出的算法能够显著改善产品族的整体性能。

1 单平台下产品族优化设计方法

1.1 设计流程

参数化产品族是大规模定制下产品族设计领域的又一新的分支。参数化产品族是指其族内的所有产品个体都通过相同的设计变量进行描述。其优化设计的复杂性在于产品族内产品个体间共性与差异性的权衡，即在保持产品间共性不降低的情况下，如何尽可能地提高产品间的差异性；或在保持产品间差异性不降低的情况下，如何尽可能高地提高产品间的共性。参数化产品族设计需要解决如下问题：①确定产品平台变量；②确定产品平台变量的取值；③确定个性化设计变量及其取值。本文以单平台下的参数化产品族研究为主，在确定平台变量后，按取值已知（预先设定）和未知（预先不设定）两种情况，采用相应的优化方法设计满足性能要求的产品族，并与其他方法进行对比，以检验所提方法的有效性。

参数化产品族下，单平台是指产品族内所有产品变体在平台变量上均取相同的值，而在个性化设计变量上的取值则无此限制。单平台下的参数化产品族开发是一个较复杂的任务，通常，开发过程包括两个阶段：第一个阶段的主要任务是确定所有设计变量中，哪些变量适于作为平台变量，哪些变量适于作为个性化设计变量；第二个阶段的主要任务是在平台变量已知的情况下，确定平台变量和个性化设计变量的取值。后一阶段中根据问题的复杂性，可分为两种情况进行：第一种情况是先确定平台变量的取值，然而确定设计变量的取值；第二种情况是对平台变量和设计变量的取值进行同步优化。从复杂性而言，前一种方法在优化时复杂性较低，而后一种方法在优化时复杂性较高。

1.1.1 平台变量与个性化设计变量划分

平台变量的确定包括如下步骤：①进行市场细分，确定产品族内各实例产品的主要性能优化目标和关键的性能约束，如对产品扭矩、功率等性能的约束；②分析与产品设计有关的变量，在领域专家的帮助下，确定对产品性能有重要影响的主要设计变量，剔除对产品性能影响不显著的次要设计变量，以进一步降低产品设计和优化的复杂性；③确定与产品设计相关的约束条件，如产品结构约束、几何约束、拓扑约束和空间约束等相关约束，并将这些约束从定量角度转化为有关设计变量的函数表达式；④建立产品优化的数学模型；⑤通过CDSMOGA依次对产品族内的实例产品进行优化；⑥根据产品族内所有实例产品，确定每一个设计变量的均值μi和标准差δi，并计算反映设计变量在所有实例产品上取值离散程度的变异系；⑦ 确定平台变量和个性化设计变量，如果设计变量xi的变异系数小于预先设计的阈值ε，则该设计变量被定义为平台变量，否则，该设计变量被定义为个性化设计变量。

1.1.2 平台变量与个性化设计变量的取值确定

在平台变量集合与个性化设计变量集合确定后，本阶段的主要任务是确定平台变量和个性化设计变量的最佳取值。本阶段根据问题的复杂性，分别采用两种方法来确定平台变量和个性化设计变量的取值：第一种方法是先确定平台变量的取值，然后再通过CDSM OGA依次求解产品族内各实例产品在相应个性化设计变量上的最佳取值，在这种方法中，平台变量xi的值设定为其均值μi；第二种方法是开发一种新的算法，该算法允许平台变量取值未知的情况下，对平台变量和个性化设计变量的取值进行同步优化。在这两种算法中，产品族优化模型的表达方式存在一定的差异。

1.2 单平台下产品族优化的数学模型

单平台下的产品族要求实例产品在平台变量上均取相同的值，所有实例产品通过对相应平台变量的共享来达到提高产品族内产品间的共性，通过共性的提高来降低产品族的生产成本。在建立产品族的优化模型之前，假设适于充当平台变量的设计变量已经预先确定。假设存在一个产品族，该产品族内每个产品个体可通过m＋n个设计变量进行描述。通过对设计变量的实例化，可生成满足性能要求的实例产品个体。再设产品族内不同的实例产品个数为p，对于每个实例产品而言，平台变量个数为m，个性化设计变量的个数为n。每个产品的性能优化目标有s个，不等式约束有q个，等式约束有r个。则产品族的优化模型如下：

其中，x（l）表示第l个产品个体的设计向量，它由平台向量xc和个性化设计向量平台向量xc＝ （xc，1，为p 个产品个体所共享，由 m 个平台变量组成，在单平台下，对于任意第i个平台变量xc，i，它在p个产品个体中都取相同的值。表示第l个产品个体的设计向量，它由n个个性化设计变量组成；对于p个产品个体，不同的个性化设计变量总共有p×n个。对于每个产品个体，存在s个性能优化目标，所有的性能目标统一转化为求最小值；对于每个产品个体，存在q个不等式约束，则对于p个产品个体，不等式约束（gi（x（l））总共有q×p个；对于每个产品个体，存在r个等式约束，则对于p个产品个体，等式约束（hj（x（l））总共有r×p 个。代表第l个产品个体所对应的第i个不等式约束的目标值代表第l个产品个体所对应的第i个等式约束的目标值。lower（xc，i）、upper（xc，i）分别表示第i个平台变量xc，i取值的下限和上限；分别表示第i个个性化设计变量取值的下限和上限。

1.3 平台变量选取及变量值设置

在基于单平台的参数化产品族优化中，在两阶段方法下，一个重要的任务是如何识别并确认适宜的产品平台变量。本文假定平台变量已知，则产品族内实例产品间的共性便已确定，余下的问题是如何设置平台变量和个性化设计变量的值，使得所有实例产品的性能得到最优化，或使产品族的综合性能得到最优化。显然，平台变量值选取的合理与否，对产品族综合性能的优化具有重要的影响，也同时决定了实例产品个性化设计变量值的设置。在平台变量集合确定后，分两种情况对平台变量和个性化设计变量进行求解。

一种情况是预先设定平台变量的值，以降低产品族优化的复杂性，此时可将产品平台变量值设置为与所有单独优化的实例产品相对应的变量的均值。平台变量值确定后，再通过CDSM OGA求解单平台下的产品族优化模型，并得到与各实例产品相对应的个性化设计变量的值。

另一种情况是不预先设定平台变量的值，而是通过提出一种新的算法，该算法允许平台变量值未定的情况下，通过对产品族综合性能进行优化，达到同时求解平台变量值和个性化设计变量值的目的。在这种情况下，平台变量和个性化设计变量存在交互效应，即通过同时对平台变量和个性化设计变量取值的合理设置，达到产品族综合性能最优的目的。

2 单平台下平台变量值已知时产品族智能优化算法

2.1 平台变量值已知时的产品族优化模型

平台变量取值已知时的产品族优化模型是模型（1）的进一步细化，在模型（1）中，平台变量只给定了其取值范围，而平台变量取值已知时平台变量在求解前被赋予了确定的值，其模型如下：

其中，除μc，i是预先指定的平台变量的值（实际应用中如果没有领域专家协助确定，可以设置为产品族内各实例产品单独优化时，各实例产品在该变量上对应的算术平均值，本文的仿真实验也是采取这种方法）以外，其他表达式的含义与式（1）完全相同。

2.2 拥挤距离排序的多目标多约束遗传算法（CDSMOGA）

从客户和企业双重角度来看，参数化产品族优化设计问题可视为一个多目标优化问题。国内外许多学者对参数化产品族优化设计问题进行了研究，其中相容决策支持问题（compromise decision support problem，CDSP）的构建与求解是参数化产品设计的基本方法[3]。然而，该方法的不足在于，求解时仅能使实例产品满足设计目标，即与设计目标的偏差最小，而不能在满足产品族设计目标的同时优化产品族的性能。因此，在实际应用中，因CDSP本身所存在的局限性，导致这类方法的应用受到限制。遗传算法因具有高速收敛、易于实现的特点而被广泛用于解决产品族优化设计中的多目标优化问题[8－12]。非支配排序遗传算法（non－dominated sorting genetic algorithm，NSGA）以减少计算量见长[5－6]。根据参数化产品族优化设计过程中共性与个性相竞争的特有特征，本文提出CDSMOGA用于求解相应的参数化产品族优化问题。CDSMOGA的一般流程如图1所示。

图1 CDSMOGA的一般流程

2.3 基于CDSMOGA的产品族优化流程

在平台变量及其取值已知的情况下，对产品族进行优化实际上等价于对产品族内的实例产品分别进行优化。因此，可采用CDSMOGA对此种情况下的产品族进行优化求解，且并不需要对CDSMOGA作特殊的处理。

具体求解流程如图2所示，将平台变量及其取值的信息输入到产品族优化模型中，产品族优化模型实际上可视为由产品族内一系列的实例产品优化模型所构成。因此，对产品族优化模型进行优化，等价于对产品族内的一系列实例产品分别进行优化。针对每一实例产品，用CDSMOGA进行优化得出Pareto最优集，接着采用模糊优选方法选出综合最优解作为该实例产品的优化解。所有实例产品的优化解集合即为参数化产品族的优化求解结果。

图2 平台变量已知时基于CDSMOGA的产品族优化流程

3 仿真实验与对比分析

在仿真实验中，采用了本研究领域内为各学者所反复引用的经典案例——通用电动机产品族的设计[13]，以通用电动机产品族案例为基础，说明本文方法的有效性。在通用电动机产品族案例中，优化目标是通用电动机产品的重量和效率。通用电动机产品族的平台变量及其取值可通过对无公用平台下的产品族优化的最终结果进行分析得到[14]。在平台变量取值已知的条件下，针对通用电动机产品族优化模型，利用CDSMOGA进行仿真实验，得出通用电动机产品族的优化结果；最后与国内外相关学者就此案例得出的结果进行对比，以验证本文方法的有效性。

3.1 通用电动机产品族的平台变量分析

根据无公用平台下的通用电动机产品族的优化结果，分别计算用于描述通用电动机产品族的各设计变量的均值μi、标准差δi和变异系数V。选取变异系数值小于5%的设计变量作为平台变量，大于5%的设计变量作为个性化设计变量，并设定平台变量的值为原变量的均值。最终确定转子线圈匝数Nc、转子线圈的横截面积Awa和定子外径r0作为平台变量，并令平台变量Nc的值为994，Awa的值为0.256mm2，r0的值为1.586cm。其他的设计变量，如磁场中磁极的线圈匝数Ns、磁极线圈的横截面积Awf、定子厚度t、电流I和堆栈长度L等，其变异系数大于5%，因此作为个性化设计变量。在优化通用电动机产品族时，通过这些个性化设计变量在定义域范围内取值的变化，生成满足不同性能要求与约束的通用电动机产品个体。

3.2 平台变量取值已知情形下的通用电动机产品族优化模型

通过对无公用平台下的通用电动机产品族优化结果进行进一步的分析，确定了适于作为平台变量的设计变量并确定了相应平台变量的取值。根据对通用电动机产品族平台变量与个性化设计变量的划分，建立下述单平台下平台变量值已知时的通用电动机产品族优化模型：

已知的平台变量

待求解的个性化设计变量

式中，xc为已知的平台向量；xi为待求解的第i个通用电动机产品的个性化设计向量；Ti为扭矩；其他符号的含义参见文献[13]。

3.3 仿真实验求解

仿真求解的运行环境是Windows VistaTM Business，Inter（R）Core（TM）2Duo CPU T7100＠1.80GHz 1.80GHz，内存1014MB，编程语言为MATLAB 7.1。根据3.2节建立的通用电动机产品族模型，采用CDSMOGA分别优化通用电动机产品族中的10个个体。对每一个待优化的通用电动机产品个体，分别输出其对应重量最优解、效率最优解和通过模糊选优得出的综合最优解。同时，以图形输出每个通用电动机产品的Pareto前沿。

实验中T 取｛0.05，0.10，0.125，0.15，0.20，0.25，0.30，0.35，0.40，0.50｝N·m 等10个数值，现仅以T＝0.10N·m为例给出运行结果，如表1所示，此时通用电动机产品的Pareto前沿见图3。

表1 通用电动机产品2（T＝0.10N·m）

图3 通用电动机产品的Pareto前沿（T＝0.10N·m）

3.4 结果分析

3.4.1 有效性分析

为了检验在单平台下，平台变量取值已知时，本文所提方法对产品族优化设计时的有效性，将无公用平台下的通用电动机产品族优化结果[14]作为基准方案，并与本文的优化结果进行对比。对比的目标是通用电动机产品族的效率和重量。对于效率，差值为正表示在效率上，本文综合最优设计方案（平台变量取值已知）优于基准方案；对于重量，差值为负表示在重量上，本文综合最优设计方案优于基准方案。采用Excel计算与基准方案中每个通用电动机的性能差（效率差、重量差），并分别计算与基准方案10个通用电动机的平均性能差，以分析本文通用电动机产品族总体性能与基准方案产品族总体性能的优劣。计算结果如表2和表3所示。

表2 平台变量取值已知时的通用电动机产品族优化结果

表3 通用电动机产品族优化结果对比分析（与基准方案[14]比较）

由表3可知，单平台下，平台变量取值已知时，与基准方案相比，通用电动机产品族的总体性能上，效率平均降低了0.04%，而重量却平均减小4.38%。与基准方案相比，本文综合最优设计方案以效率上的轻微损失带来了通用电动机产品族在总体重量上的显著改善。同时，在共性指标上，本文综合最优设计方案中，10个通用电动机在8个设计变量上，相异取值共有51个，而基准方案中，相异取值共有76个。表明本文优化方案中，通用电动机产品族的共性显著高于基准方案。综上可得，本文综合最优设计方案显著优于基准方案，从而验证了单平台下，平台变量取值已知时本文方法的有效性。

3.4.2 与基于PPCEM的通用电机族优化设计结果的比较

文献[7]在研究产品族的优化设计问题时首先提出了产品平台概念探索法（product platform concept exploration method，PPCEM）。PPCEM是一种基于单平台的产品族优化设计方法，它在已知产品族平台常量和个性化设计变量的情况下，用CDSP求解平台常量参数值和实例产品个性化设计变量值。文献[7]在采用PPCEM优化通用电动机产品族时，平台变量为定子外径r0和定子厚度t，个性化设计变量为转子线圈匝数Nc、磁场中磁极的线圈匝数Ns、转子线圈的横截面积Awa、磁极线圈的横截面积Awf、电流I和堆栈长度L。为对比本文综合最优设计方案（平台变量取值已知）与基于PPCEM的通用电动机产品族优化设计方案的优劣，分别将两种方法的有关结果列于表4。

表4 通用电动机产品族优化结果对比分析（与 PPCEM 方案[7]比较）

由表4中两种方法的对比结果看出，与PPCEM方法相比，本文方法得到的通用电动机产品族的总体效率平均提高了5.04%，总体重量平均降低了30.51%。可见，本文综合最优设计方案在效率和重量两项性能指标上均优于文献[7]的结果。在共性指标上，本文综合最优设计方案中，10个通用电动机在8个设计变量上，相异取值共有51个；而基于PPCEM的通用电动机产品族，其变量的相异取值共有62个，即在共性指标上，本文方法也优于文献[7]。由此可见，在PP－CEM方法中，仅要求实例产品满足设计目标，即与设计目标的偏差最小，而忽略在满足产品族设计目标的同时优化产品族的整体性能，可能是导致参数化产品族优化设计不足的根本原因。而在本文方法中，对上述方面进行了全盘考虑。

综合上述各对比结果表明：在单平台下，平台变量取值预先确定时，本文提出的产品族优化设计方法可获得更优的整体设计方案。

4 结语

鉴于产品族优化设计问题的复杂性，采用合理的方法事先识别出适于充当平台变量的产品族设计变量，是一种降低产品族优化设计复杂性的有效途径。本文基于对参数化产品族优化设计问题特性的分析，提出了单平台下参数化产品族的两阶段优化设计方法。以无公用平台下的参数化产品族优化设计的结果为基础，采用产品族设计变量变异系数指标为标准来划分产品族平台变量和个性化设计变量，并提出平台变量合理取值的方法。给出了单平台下参数化产品族两阶段开发的一般流程。针对单平台产品族优化设计的特征，给出了单平台下参数化产品族优化设计的一般数学模型，以此为基础，进一步提出了平台变量值预先设定时的产品族优化模型，给出了采用CDSMOGA算法对该模型进行优化求解的过程。最后，对单平台下平台变量值已知时的通用电动机产品族优化数学模型，采用本文所提方法进行了仿真运算。对比仿真结果与国内外文献中相关结果发现，本文所提出的方法能够显著改善产品族的整体性能，在参数化产品族的优化设计上是有效的。

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