基于小波变换的图像去噪研究

刘 慧 ，彭良玉 ，刘美华

(1.湖南师范大学 物理与信息科学学院，湖南 长沙 410081；2.湖南工程学院，湖南 湘潭 411104)

噪声可以理解为“妨碍人们感觉器官对所接收的信源信息进行理解的因素”。现实中，数字图像在数字化和传输过程中常受到成像设备与外部环境噪声干扰等影响，成为含噪图像[1-2]。常用的去噪方法有均值滤波、中值滤波、维纳滤波和小波变换等。大多数方法从本质上来说都是低通滤波的方法，而图像细节包含在高频信号中，因此，在去噪的同时很容易将图像细节部分也去掉。小波变换能同时给出信号的时域和频域信息，其多分辨率特性使其能比传统算法很好地在去噪的同时保护图像边缘信息。基于小波变换的去噪方法利用小波变换中的变尺度特性，对确定信号具有一种“集中”能力[1]。小波能够去噪是因为它具有以下特点：(1)低熵性，小波系数的稀疏分布能降低图像处理后的熵；(2)多分辨特性，能够精确描述信号的非平稳性，可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布情况来去噪；(3)去相关性，可对信号去相关，噪声在变换后有白化趋势；(4)基函数选择很灵活，可以针对不同的信号特点和降噪要求或者不同场合，灵活选择小波基函数[2-4]。小波变换后，对应图像特征奇异点处的系数幅度较大，且相邻尺度层间有很强的相关性，便于提取和保护特征。一般认为，经小波变换后，信号的小波系数幅值较大，而噪声的系数较小。只要设置一个适当的阈值，保留幅值较大的小波系数，将小于该阈值的系数置零或者进行相应的收缩处理，最后用处理过后的小波系数进行重构就能得到去噪后的图像[5]。

1 小波阈值去噪

1.1 数学模型

设原始信号为 fi，j，含噪图像为 gi，j，则 受干扰的图 像模型为[5-7]：

其中，i，j=1，2， …，N，N 为 2 的整数次幂，εi，j是噪声分量，独立同分布于 N(0，σ2)，且与 fi，j独立。图像去噪的目的 就 是 从 含 噪 图 像 gi，j中得 到原 图像数 据fi，j的 估 计 f′i，j，使其均方根误差(MSE)最小。对式(1)进行离散小波变换(DWT)，又因小波变换是一种线性变化，因此得到：

1.2 阈值化方法

小波阈值化最常用的两种方法[8]为硬阈值化和软阈值化。

(1)硬阈值化用公式表示为：

其中，δ为阈值，Wδ为小波系数。

绝对值小于δ的小波系数置零，绝对值大于δ的小波系数保持不变。硬阈值函数如图1所示。

图1 硬阈值函数

(2)软阈值化用公式表示为：

绝对值小于的δ小波系数置零，绝对值大于δ的小波系数绝对值都减小固定的δ。软阈值函数如图2所示。

图2 软阈值函数

小波变换去噪通常采用全局阈值法，即对小波分解后的所有高频系数采用同一个阈值去噪。事实上，小波分解后得到的不同尺度、不同方向的噪声系数是有很大差异的，如果单纯地把全局阈值调高，虽然可以去掉绝大部分噪声，但是某个尺度、某个方向的高频图像信息也会全部丢失；如果调低全局阈值，又会把高于阈值的噪声系数当成有用信息保留下来，造成去噪效果不理想。综合来说，全局阈值去噪效果相对较差，因此对其进行改进，针对不同尺度、不同方向的小波系数使用不同阈值处理，方法步骤如下[9]：

(1)选择一个合适的小波和分解层数对加噪图像进行小波分解；

(2)计算每一层每个方向(水平、垂直、对角)的小波系数的阈值δ；

(3)利用软阈值法对各小波系数进行阈值化，得到新的小波系数 Wδ；

(4)计算小波逆变换，完成重构得到去噪后的图像。

2 仿真验证

为了验证该方法优于全局硬阈值及软阈值去噪法，进行仿真实验，采用 512×512的 lena和 liftingbody图，编译环境为Matlab7.0。在lena和liftingbody图中分别加入噪声水平为15、20、25的高斯白噪声，选用的小波基为Daubechies3，分解尺度为2。噪声水平在15时的lena和25时的liftingbody仿真图如图3和图4所示。

从仿真图可以看出，多尺度多方向阈值法去噪后的图像纹理要比全局阈值去噪法清晰，说明多尺度多方向阈值去噪法在去噪的同时能够比全局阈值法更好地保护图像边缘纹理。

为了验证该方法的去噪效果优于全局软、硬阈值，用去噪后图像的峰值信噪比(PSNR)及均方根误差(MSE)来评判[10]。

表1、表2给出了对lena图分别进行全局阈值去噪和多尺度多方向去噪的MSE和PSNR。

表1 全局阈值去噪和本文方法去噪结果(MSE)

表2 全局阈值去噪和本文方法去噪结果(PSNR)

从表1和表2可以看出，不管是用硬阈值还是软阈值函数去噪，此方法都能比全局阈值去噪得到更小的均方根误差和更大的峰值信噪比。

本文在常规的小波阈值去噪方法的基础上，将运用于全局的统一阈值换成适合不同尺度、不同方向的不同阈值。从仿真结果可以看出，本文方法不仅改善了图像质量 (提高了峰值信噪比PSNR且有最小均方误差MSE)，而且也使图像更加清晰，并适合人眼的视觉特性，充分说明了该法的有效性。

[1]冈萨雷斯.数字图像处理(MATLAB版)[M].北京：电子工业出版社，2009.

[2]李旭超，朱善安.小波域图像降噪概述[J].中国图象图形学报，2006，11(9)：1201-1208.

[3]飞思科技产品研发中心.小波分析理论与MATLAB7实现[M].北京：电子工业出版社，2005.

[4]谢杰成，张大力，徐文立.小波图象去噪综述[J].中国图象图形学报，2002，7(3)，209-217.

[5]DONOHO D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory，1995(41)： 613-627.

[6]DONOHO D L.JOHNSTONE I M. Ideal spatial adaptation by waveletshrinkage[J].Biometrika，1994，81(3)，425-455.

[7]田沛，李庆周，马平，等.一种基于小波变换的图像去噪新方法[J].中国图象图形学报，2008，13(3)：394-399.

[8]涂丹，沈建军，沈振康.小波阈值技术在图像降噪中的应用研究[J].国防科技大学学报.1999，21(2)，42-45.

[9]KAUR L， GUPTA S， CHAUHAN R C.Image denoising using wavelet thresholding [J]. Indian Conference on Computer Vision， Graphics&Image Processing(ICVGIP)，2002.

[10]CHANG S G， Yu Bin， VETTERLI M.Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression[J].IEEE Transactions on Information Theory，2000，9(9)：1532-1546.