转换情景性质求解物理问题

黄国超

(浙江诸暨草塔中学,浙江诸暨 311812)

“素质教育”要求注重培养学生解决实际问题的能力,而实际问题的相关信息往往不能和物理规律直接对接,这是学生在学习中的最大障碍之一,因此需要学生会建立合理的、最佳的物理情境,巧妙地解决实际问题.下面以几个求时间的具体实例来说明转换设计新的物理情境的重要性.这里“新”物理情景在性质上不同于”原”物理情景.

1 化“曲线”为“直线”

例1.把一根长为L的光滑钢丝均匀地绕成一个高为h的弹簧,现把该弹簧竖直固定在地面上,让一个小环穿在钢丝上,并使其由静止开始下滑,假设整个过程中弹簧的形变不计,求小环下滑过程中所用的时间.

图1

解析:小环下滑时,速度和加速度方向时刻在变化,是一个变速曲线运动,但是我们发现改变速度大小的力是重力沿钢丝切线方向的分力,而大小是不变的,即加速度的大小是不变的.因此转换物理情境:把小环沿曲线的下滑转化为沿直线的下滑,即将弹簧以其中心轴为轴展开形成如图1所示的三角形ABC,其中AC=h,AB=L.即把曲线问题转变成了直线问题,小环沿弹簧下滑的运动等效为沿直线的下滑运动,把复杂问题简单化了,由运动学公式得

2 化“立体”为“平面”

例2.一位电脑动画爱好者设计了一个“猫捉老鼠”的动画游戏.如图2所示,在一个边长为a的大立方体箱子的顶角G上,老鼠从猫的爪子之间逃出,选择了一条最短的路线,沿着箱子的棱边奔向洞口,洞口处在大箱子的另一个顶角A处,若老鼠在奔跑中保持速度大小 v不变,并不重复跑过任一条棱边及不再回到G点.聪明的猫也选择了一条最短的路线奔向洞口(设猫和老鼠同时从 C点出发),则猫奔跑的速度为多大时,猫恰好在洞口再次捉住老鼠?

解析:这是一个立体的追击问题,如果用求极值的方法是很繁琐的,但如果转换一下物理情境把大立方体展开铺平如图3所示,就会发现GA连线就是猫追老鼠的最短路线,这样问题就变得非常简单了.

图2

图3

3 化“间断”为“连续”

例3.回旋加速器的D形盒最大半径为R,两盒间距为d,加速电压为 U,磁感应强度为 B.用它加速一个带电粒子,则带电粒子在回旋加速器中运动的总时间为多少?

解析:带电粒子间断地在电场中做匀加速直线运动,在磁场中做匀速圆周运动,运动的总时间等于电场力加速的总时间(tE)加上在磁场中运动的总时间(tB),一般来说,是先导出每次加速时间的表达式,再用数学知识求其和,繁琐程度是可想而知.如果我们设计一个新的物理情境:把粒子间断的加速转化为连续不断的加速直到飞离加速器.这样问题就变成了初速度为零的匀加速运动了.由运动学公式和轨道半径公式有

在加速器中运动的总时间为

4 化“路线”为“光线”

例4.一辆汽车在轨道 MN上行驶的速度v1可达到50 km/h,轨道外的平地上行驶的速度 v2可达到40 km/h,与轨道的垂直距离为30 km的B处有一基地,如图4所示.问汽车从基地B出发到离D点100 km的 A处的过程中最短需要多长时间(设汽车在不同路面上的运动都是匀速运动,启动时的加速时间忽略不计)

图4

图5

解析:常规方法是先写出时间关于汽车上路点O到A点距离的函数式再求极值,但过程是比较繁琐的.然而我们知道光在反(折)射现象中总是以时间最短的路径传播的.为此本题可以设计一个新情境:把汽车的运动路线类比为光线的传播,这样此问题恰好是全反射中的临界状态.由光学知识结合图5得.

所以汽车运动的最短时间为

5 化“老鼠奔跑”为“力拉弹簧”

例5.(第4届全国中学生物理竞赛试题)老鼠离开洞穴沿直线前进,它的速度与到洞穴的距离成反比,当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时的速度为v1,则它行进到洞穴为d2的乙处时,又用去的时间是多少?

解析:这道竞赛题一般多采用图像法、分割法等等,但都没有离开题干叙述的实际情境,解答过程也不够简捷,如果转换其情境联想到汽车以恒定功率启动的情形:速度与牵引力成反比,即v=.再使牵引力随位移成正比(F=kx)变化,这样汽车的启动过程中速度就与位移成反比了,即v=.由于弹簧的弹力与受力端的位移成正比,于是便把“老鼠的奔跑”转换为“外力以恒定的功率拉伸弹簧”的运动情境,问题就便于解决了.

对弹簧的端点由动能定理得

综上,转换物理情景对于解决物理问题十分重要,而转换为不同性质的情景更有某种特殊的作用.