具有脉冲投放益虫生物控制害虫的捕食-食饵模型*

程惠东

(山东科技大学理学院，山东 青岛 266510)

在自然界生物系统中，有关害虫的科学有效的治理一直是人们研究的问题，人们试图利用喷洒杀虫剂作为控制害虫的数量，这会造成环境污染，也对天敌益虫及人类造成伤害，经常会因为害虫的变异及适应性的增强而使得杀虫剂失效，这样显然不利于人们的长远发展，也不经济；而利用人工培养或从外地迁入天敌的方法，即定期进行天敌投放，以达到控制害虫的目的，这样可以避免环境污染给人类带来的损失。因此很多学者对生物控制进行了大量的研究与讨论[1-8]，这些研究大多是在彻底根除害虫的情况下，而引入大量的天敌[4-8]，但是从生态平衡和经济方面考虑，根除害虫是不太可能，也不科学的；我们希望天敌最小的投放量，最长的投放周期，使害虫种群与益虫种群持续生存，故本文致力于害虫生物治理的研究。

1 模型及预备知识

许多作者对捕食-食饵系统的研究已做了很多工作并且得到了很好的结果[2-5]。近年来,阶段结构模型也越来越受到关注，许多文献对阶段结构单种群模型进行数学分析[6-9]，最近，Weng等[9]考虑了下面的捕食- 食饵模型

其中，x(t),y1(t),y2(t)分别表示食饵、幼年和成年捕食者种群的密度，其具体的生物学意义可参见文献[9],但是这个模型没有考虑到捕食者幼体的成长期和功能反应情况。

由于害虫的出生率、死亡率等生存指数几乎总是与年龄、种群的大小或发展阶段有关，幼虫大多生活的庇护所里，我们进行的管理策略几乎不起作用，我们还注意到，幼年不具有生育能力，从幼年到成年的成熟期作为一个常数时滞。由此害虫的阶段结构、时滞以及人类周期性的干扰等生物现象是经常发生的。近几年脉冲微分方程在生物模型中的应用正在兴起[5-9]，而且时滞微分方程在生物模型中也有广泛的应用[10-11]，但是脉冲时滞微分方程在种群动力学上的应用不太常见中，由此，我们引入如下具有阶段结构脉冲时滞的HollingII功能反应的捕食模型

(1)

这里xj(t),x(t)分别表示幼年、成年害虫种群的密度，r>0成年害虫的出生率，γ>0，c>0分别表示幼年、成年害虫种群的死亡率，τ时期从出生到长成成年的时间，re-γτx(t-τ)表示幼年害虫在t-τ时刻的出生数(即rx(t-τ))到t时刻除去死亡以后的剩余数，表示幼年到成年的转化数；u>0表示天敌的释放量，d>0表示天敌的死亡率，β>0表示天敌的捕食率，λ>0表示被捕食的食饵向捕食者的转化率，α>0反映的是同种群生物之间相互干扰的大小程度[8-9]。y(nT+)=limt→nT+y(t)，y(nT)=limt→nT-y(t)，x(t),xj(t)对t>0都是连续的，具体细节请参阅文献[9-10]。

因为幼虫不具有危害性或者危害性较小，并且不具有出生率，所以控制害虫主要是指对成虫的控制。注意到系统(1)的第二第三个方程中不显含变量xj(t)，因此只需研究下面系统(1)的子系统

(2)

从生物意义出发，只在区域D={(x,y)|x,y>0}上考虑系统(2)的动力学行为，于是系统(2)满足初始条件

(φ1(s),φ2(s))∈C+=

(3)

(i)若a

2 “害虫根除”周期解的全局吸引性

2.1 “根除害虫”周期解的存在性

假设害虫(食饵)从捕食系统中完全消失，即害虫根除，须有x(t)=0,t>0。在此条件下，我们表明与周期脉冲投放天地同步，天敌(捕食者)种群出现相同周期的震荡。

在害虫根除的条件下，首先要了解天敌(捕食者)在nT

(5)

在任何两次脉冲时间间隔内对微分方程(5)进行积分求得

y(t)=y(nT)e-d(t-nT),nT

这里y(nT)是天敌在nT时刻的初始值，对于系统(5)第二个方程。依据离散动力系统的频闪映射得

y((n+1)T)=y(nT)e-dT+u=f(y(nT))

(6)

于是有

系统(5)有唯一的一个全局渐进稳定的正周期解。

因为系统(5)的解是

y*(t)，t∈(nT,(n+1)T]

于是有下面的引理。

引理3[5]系统(5)有唯一的一个全局渐进稳定的正周期解y*(t)，即系统(2)有唯一的一个在t∈(nT,(n+1)T]上的“害虫根除” 周期解(0,y*(t))，并且对系统(2)的任何解(x(t),y(t))，都有当limt→∞y(t)=y*(t)。

2.2 “害虫根除”周期解的全局吸引性

记

定理1 如果u≥u*或者T≤T*，则系统(2)“害虫根除” 周期解(0,y*(t))是全局吸引的。

(7)

成立。由系统(2)的第三个方程可知，

从而

因此，对上述ε>0，存在一个正整数n1，使对t≥n1T时，都有

(8)

由(8)式及系统(2)的第一个方程，对t≥n1T+τ，有

(9)

(10)

的唯一全局渐进稳定的正周期解。由(10)式知，对t∈(nT,(n+1)T]，有

根据脉冲微分方程的比较定理，对任意ε1>0，存在n3>n2，当t>n3T+τ，都有

(11)

(12)

因此，当t→∞时，有

(13)

注：定理1表明了较短的脉冲周期(T)，或者对天地进行较大的脉冲释放量(u)，是害虫根除周期解全局吸引的充分条件，这也说明了这些参数对系统动力学行为有重要影响。

3 害虫的控制策略

定理1表明了较短的脉冲周期(T)，或者对天敌进行较大的脉冲释放量(u)，是害虫种群最终完全根除，事实上，从生态平衡及经济方面考虑，种群最终完全被根除是困难的，也是不科学的。因此我们希望让害虫与天敌在共存的条件下，控制在经济危害水平(EIL)E之下,从而不会带来严重的经济损失。由此我们给出有效且符合实际的害虫控制策略。

记

定理2 如果u**

因而由系统(2)的第一个方程，对t≥n1T+τ，有

(14)

考虑比较方程

(15)

4 生物意义

本文根据现实的生物意义，把脉冲、时滞和阶段结构捕食模型中，一方面得到害虫彻底根除的充分条件，另一方面得到了能够把害虫控制在作物经济危害水平(EIL)之下，这在阶段结构种群动力学上还不多见。这与许多作者大多得到的彻底根除害虫的条件和结论是不同的。事实上，在现实生活中彻底根除害虫是很难实现的，也是不科学的。因此我们给出了不必彻底根除害虫的充分条件，即当天地的最小投放量u**与最小投放周期T**时，害虫处于作物经济危害水平(EIL)之下。从生态平衡、种群的多样性及经济方面考虑，这样的害虫控制策略更具现实意义。从数学上看，我们还获得了定理的条件及模型的动力学行为依赖于时滞τ的结论，这说明这个时滞为“有害”时滞。

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