一类满足Costa非二次型条件六阶半线性微分方程同宿轨道解的存在性研究

冯培娟,刘晓娜,谢旋

摘要 本文运用山路引理研究了一类满足Costa非二次型条件的六阶半线性微分方程同宿轨道解的存在性，其中。

关键词 山路引理；同宿轨道解；Costa非二次型条件

中图分类号O175 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2011）43-0119-02

Existence of Homoclinic Solutions of a Class of Semilinear Sixth-Order Differential Equations

with Costa nonquadratic Potentials

Abstract In this paper we apply Mountain-Pass Theorem to study the existence of homoclinic solution for a class of semilinear sixth-order differential equations with Costa nonquadratic potentials

Where

KeywordsMountain-Pass Theorem; Homoclinic Solution; Costa nonquadratic Potentials

0 引言

近30多年来， 变分理论飞速发展，新定理新方法的给出不仅丰富了临界点理论，而且解决了越来越多的微分方程的边值问题.运用临界点理论对非线性常微分方程同宿轨道解的存在性研究已经有很长的历史，例如文献[1]和文献[2]分别用山路引理和Brezis-Nirenberg型山路引理研究了一类六阶非线性微分方程同宿轨道解的存在性。

本文主要应用山路引理研究一类满足Costa非二次型条件的六阶半线性微分方程（*）

同宿轨道解的存在性，其中

假设，，并且满足下列条件：

1），对于一致成立；

2）存在，，使得。

2 主要结果

定理1在上述假设下，方程（*）至少存在一条非平凡的同宿轨道解。

在本文中，我们将用到山路引理证明定理1。

（山路引理）设X是实Banach空间，，I满足（P.S.）条件，且满足:

1）存在， ，使得；

2）存在， 使得。

那么I有一个临界值，

方程（*）的弱解为泛函的临界点，且，，进一步，由标准法此即为方程（*）的同宿轨道解。

并且，

定义Sobolev空间上的范数为

令，，则

引理1若满足条件（1）（2），则存在， ，使得。

证明：由Sobolev嵌入定理，存在常数使得

由得，当时，有

所以

（取）

引理2若满足条件（1）（2），存在， 使得。

证明：取，则在任一非空开集上

引理3 若满足条件（2），则I满足Ceramic条件，即对，只要有界，，则至少有一个收敛子列。

证明：设满足有界，且

从而所以I满足Ceramic条件。

由引理1，2，3可知，泛函满足山路引理的条件，从而其至少有一个非平凡的临近点。

综上可得，方程（*）至少存在一条非平凡的同宿轨道。

参考文献

[1]G.Caginalp，P.C. Fife.Higher order phase field models and detailed anisotropy，Phys.Rev，B 34 (1986)，4940-4943.

[2]Gyulov，Gheorghe Morosanu and S.Tersian.Existence for a semi-linear sixth-order ODE，J.Math.Anal.Appl. 321(2006)86-98.

[3]李成岳.变分法与哈密顿系统同宿轨道和异宿轨道引论[M].北京：科学技术文献出版社，2006.

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”