Sine-Gordon方程的一个新高精度差分格式

李自启

南京航空航天大学，江苏南京 211100

Sine-Gordon方程的一个新高精度差分格式

李自启

南京航空航天大学，江苏南京 211100

本文提出了一个解sine-gordon方程显示的高精度格式，并证明了此格式的截断误差 o ( t2+h4)，以及用级数方法证明了此格式的收敛性的稳定性，数值试验进一步验证了格式的正确性，并且选择特定的参数后，可以达到很好的计算精度。

sine-gordon方程；差分格式；守恒；收敛性；稳定性

格式说明：

0 引言

在现在物理学研究中，出现了许多非线性发展方程，其中Sine-Gordon方程具有许多有趣的现象，因而成为无穷维动力系统中的一个重要的模型。本文对线性的Sine-Gordon方程的初值问题提出了一个高精度的差分格式。

考虑一维空间的Sine-Gordon方程（SGE）

格式

其中2α +β= 1。

下面考虑格式的稳定性和收敛性：

引理1 Miller准则。

设A＞0 ,实系数二次方程 A λ2+Bλ + C = 0 的两根模小于或等于1的充要条件是

四阶三层显示格式的稳定性分析：

下面用傅里叶方法研究此格式（3）的稳定性。

则（3）式的增长矩阵为：

则矩阵的特征值的方程为 ：λ2− D λ +1= 0 。

理由引理3可得：A=1，C=1，B=-D。

要使 A-C=0，A+B+C＞0，A-B+C＞0。

经计算得：

下面讨论误差阶：

定理一 格式（7）在特定的α和β下是收敛到方程（1），并且收敛阶为 o ( t2+h4)。

证明：利用泰勒展示进行估计。

（7）（8）相加可得

同样可得：

（9）（10）联立得：

所以格式（7）关于t是二阶相容的，关于h是四阶相容的，其截断误差为： o ( t2+h4)。

1 数值试验

为了研究格式的精确性和可靠性，现在考虑如下精确解的初边值问题：

在t∈[0,1]上做试验，取时间步长为0.0005，空间步长为0.4，图a，图b，图c, 图d分别表示精确解的图像和格式（7）的图像和误差的绝对值曲面误差绝对值的俯视图（注此图是在α=0，β=1时候的特殊情况）

当α，β取不同的值时可以得α，β对解的影响

由表可知道当β=0.6和0.7时候有很好的近似。

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.1674-6708（2011）52-0099-02