渐近周期点的若干性状*

邹 成 赵清俊

（1.四川化工职业技术学院基础部，四川 泸州646005;2.重庆文理学院数学与统计学院，重庆 402160）

连续自映射反复迭代生成的拓扑动力系统的研究真正开始于20世纪30-40年代，但近年来得到了蓬勃发展.各种点集是一维动力系统中的重要内容，因为它在系统中具有很好的动力性质.1964年乌克兰数学家沙尔可夫斯基（sarkovskii）指出周期点的周期呈现出相当整齐的规律后，相当多的文献都对其进行了研究，并立即推广得到了几乎周期点、终于周期点、回归点、ω-极限点、非游荡点、链回归点等各类非游荡点集，同时诸多学者对它们的性质进行了大量讨论［1-7］.但对于渐近周期点，却少有提及，此处则对渐近周期点的相关性状作一点探讨.

1 预备知识

记I=［0，1］，f:I→I是［0，1］上的一个连续自映射.以下预备知识引自文献［8］或［9］.

定义1 对任意x∈I，若存在非负整数n，使fn（x）=x，则称x为f的n－周期点，n为f的一个周期，f的所有周期点构成集合记为P（f）.

定义2x∈I称为f的终于周期点，如果∃n＞0，使fn（x）∈P（f），f的所有终于周期点构成集合记为EP（f）.

定义3x∈I称为f的几乎周期点，如果对于x的任意邻域U，存在整数N＞0，使得在连接着的N个数中总有某一个n适合fn（x）∈U，f的所有几乎周期点构成集合记为AP（f）.

定义5x∈I称为回归点，如果对于x的任意邻域U，存在非负整数n，使fn（x）∈U，记为R（f）.

定义7x∈I称为f的非游荡点，如果对于x的任意邻域U，存在非负整数n，使fn（U）∩U≠Ø.f的非游荡点集记为Ω（f）.

显然有，Ω（f）⇔W（f）⇔R（f）⇔P（f）.

定义8 Λ∈I称为f的（强）不变子集，若f（Λ）⊂Λ（f（Λ）=Λ）.

引理9 若F⊂I是一个区间，并且F∩P（f）=Ø，则必有下列之一:

（1）对于任意的n＞0和任意的x∈F，只要fn（x）∈F，则有fn（x）＞x.

（2）对于任意的n＞0和任意的x∈F，只要fn（x）∈F，则有fn（x）＜x.

称（1）的情形满足时，F是一个正型区域;（2）的情形满足时，F为负型区域.

2 主要结果

命题1P（f）⊂EP（f）⊂APer（f），显然成立.

命题2 在I上，f的渐近周期点集APer（f）是可迭代的，即APer（f）=APer（fn），且APer（f）是强不变集.

证明 显然有APer（f）⇔APer（fn）.

故APer（f）⊂APer（fn）.立即得到APer（f）是强不变集.

定理1 若I上f的周期点集为闭集，则有APer（f）=AP（f）=EP（f）=P（f）=R（f）.

证明 i）I上f的周期点集为闭集，则由文献［8］，立即有P（f）=R（f）.

ii）证APer（f）=P（f）.

命题3 若I上f的周期点集为开集，则APer（f）与Ω（f），W（f），R（f）没有必然的包含关系.

证明起来是非常复杂的，见下反例:

设线段I=［0，1］上的连续自映射f如图1，它满足下列条件:f（a）=b，f（b）=b，f（x）在b附近单调，且从斜率大于－1小于0.

显然，对于一列非负整数 δi，i=1，2，3，…;f（a+ ε）=b－δ1;f2（a+ε）=b+δ2;f3（a+ε）=b－δ3;…;fn（a+ε）=b+（－1）nδn.且有δn+1＜δn，即有fn（a+ε）→f（b）=b.

图1 线段I=［0，1］上的连续自映射f

［1］张伟年.动力系统基础［M］.北京:高等教育出版社，2001

［2］周作领.符号动力系统［M］.北京:上海科技教育出版社，1997

［3］李继彬.混沌与Melnikov方法［M］.重庆:重庆大学出版社，1989

［4］熊金城，拓扑传递系统中的混沌［J］.中国科学A辑·数学，2005.35（3）:302-311

［5］陈绥阳，褚蕾蕾.动力系统基础及其方法［M］.北京:科学出版社，2002

［6］关鹏.关于几乎周期点的讨论［J］.河南科技大学学报，2007，28（5）:76-78

［7］范钦杰.混沌与拓扑混合［J］.大学数学，2004，20（6）:68-72

［8］熊金城.线段自映射的动力系统:非游荡集、拓扑熵及混乱［J］.数学进展，1988.17（1）:1-11

［9］周作领.一维动力系统［J］.数学月刊，1988，3（3）:43-65