灰色系统与神经网络组合模型在地下水水位预测中的应用

冯 羽，马凤山，魏爱华，赵海军，郭 捷

（中国科学院地质与地球物理研究所 工程地质力学重点实验室，北京 100029）

0 引言

地下水水位动态变化是一个复杂的非线性系统。地下水动态受多种因素的影响，包括气象、水文、地质、人为活动等。准确地预测地下水位变化在水资源开发利用和生态环境建设中都有着重要的意义。

目前，国内外地下水动态预测研究的各种模型，归纳起来可以分为确定性模型和随机性模型两大类［1］。确定性模型是由地下水运动微分方程和定解条件组合在一起构成的数学模型。常见的确定性模型方法有：解析法、物理模拟法和有限差分法、有限单元法、边界元法、有限分析法等数值模拟法三大类［1］。随机性模型是根据地下水水位变化影响因素的多样性与不确定性，利用概率统计分析方法找出这些不确定性因素的规律，从而建立相应的随机模型［2］。目前出现的随机模型主要有回归分析、频谱分析、灰色系统、时间序列、神经网络和随机微分方程模型等。确定性模型方法需要的数据量通常是比较多的，而且求解过程也较复杂。因此，随机性模型方法以其强大的处理非线性系统的能力而在对地下水水位预测中得到了广泛的应用［3－9］。

1 灰色系统GM（1，1）模型

灰色系统理论（简称灰理论GreyTheory）最早由我国学者邓聚龙教授于20世纪70年代末提出［10］，主要针对既无经验、数据又少的不确定性问题。灰色系统理论与方法的核心是灰色模型，灰色模型是以灰色生成函数概念为基础，以微分拟合为核心的模型建造方法。灰色系统建模的过程是通过一定的方法，将在一定范围内、一定时段上变化的原始数据序列进行处理，生成比较有规律的时间序列数据，从而建立抽象系统的发展变化动态模型，即GreyDynamicModel，简记为GM（h，n），h表示微分方程的阶数，n表示变量的个数。其中，最常用的模型为 GM（1，1）预测模型，称为单序列一阶线性动态模型。

灰色GM（1，1）模型是利用离散的时间数据序列，通过累加生成运算建立近似连续的灰色微分方程，求解生成函数进行预测［11］。

则可建立灰色预测GM（1，1）模型：

d（k）+az（1）（k）=b，将d（k）带入方程，简化后得：

其中：a——发展系统；

b——灰作用量；

z（1）（k）——白化背景值。

此时，将 k=2，3，…，n 代入（1）式，可得：

用最小二乘法解此线性方程组得：

其中，u=（a，b）T，Y= ［x0（2），…x0（n）］T

可采用后验方差对模型的可靠性进行检验。原始数序列x（0）（k）与预测数据（k）序列，先计算离差S1，S2，再计算后验比 c=S1/S2。

可以通过Matlab7.0编程建立 GM（1，1）预测模型。由于灰色系统预测模型良好的非线性性质，因此在许多工程领域中都有广泛的应用［12－15］。

灰色GM（1，1）预测模型是把地下水水位观测数据序列当作随时间变化的灰色过程，运用时间序列来确定微分方程的参数，从而建立相应微分方程的模型，并做出预测。灰色GM（1，1）预测模型的建立由于只涉及地下水水位观测序列本身，避免了对众多影响因素数据的收集整理，操作比较方便，具有一定的实用价值［6］。

2 人工神经网络

人工神经网络（ANN）是指用大量的神经元构成的非线性系统，在一定程度和层次上模仿人脑神经系统的信息处理、存储及检索功能，具有学习、记忆和计算等智能处理功能［16］。人工神经网络目前也在许多地质工程领域都有广泛的应用［17－20］。

BP神经网络模型，即误差后向传播神经网络，是神经网络模型中使用最广泛的一类。它分为输入层、隐含层和输出层。层与层之间多采用全互连方式，同一层单元之间不存在相互连接（图1）。

图1 BP网络结构示意图Fig.1 BPneuralnetworkschematicdiagram

学习过程中由信号的正向传播与误差的逆向传播两个过程组成。正向传播时，模式作用于输入层，经隐层处理后，传入误差的逆向传播阶段。将输出误差按某种子形式，通过隐含层向输入层逐层返回，并“分摊”给各层的所有单元，从而获得各层单元的参考误差或称误差信号，以作为修改各单元权值的依据。权值不断修改的过程，也就是网络学习过程，此过程一直进行到网络输出的误差逐渐减少到可接受的程度或达到设定的学习次数为止。BP算法学习步骤可简要概化为以下五步：①随机抽取初始权值、阈值；②输入学习样本、学习速率、冲量因子、误差水平ε；③依次计算各层输出；④修正网络权值、阈值；⑤若误差E＜ε停止，否则转入③重新迭代计算。

Matlab的神经网络工具箱具有很完善的神经网络分析功能，无需在编程上花大量时间就可以编制出简单易懂的程序，易于解决实际中的应用难题。

单独使用BP网络进行地下水水位预测前，必须对影响地下水水位的各种因素作一一分析说明，例如对地下水的补给来源、排泄方式都要十分清楚。选取主要的影响因素并对其数据进行归一化处理，即可作为神经网络的输入分量，地下水水位作为神经网络的输出量，然后开始网络训练。但是由于网络输入存在多重共线性，因此导致网络泛化能力不高，降低了网络的预测性能；考虑可将灰色系统预测模型与人工BP神经网络结合起来，将灰色系统预测模型的预测值作为神经网络的输入，实际测量的地下水水位作为网络输出来训练神经网络，这样就避免了对影响因素分析的人为不准确性。

3 基于灰色系统与神经网络的组合预测模型及算例应用

灰色GM（1，1）模型同其他预测方法一样也存在局限性。一是数据离散程序越大，即数据灰度越大，则预测精度越差［21］；二是模型的拟合序列为非齐次指数序列，需要原始数据具有明显的指数规律预测结果才够准确，因此不太适合后推年限较长的预测［22］。

神经网络的输出对于系统而言，按照灰色系统理论中灰数的定义，实际上就是灰数。由此可知，神经网络本身就包含有灰色内容。而且两者在信息的表现上存在一定的相似性，是可以进行融合的。因此可以用灰色系统理论来对神经网络进行考察，同时也可以用神经网络技术来研究灰色系统［23］。本文利用灰色系统的预测值作为神经网络输入层，实际观测值作为输出层来训练神经网络，并采用训练后的神经网络来对灰色系统预测值进行修正预测。

现收集到某地区1996～2006年连续11年的地下水水位埋深数据，如表1所示。

考虑到应用灰色系统预测较长时间后结果误差较大，因此采取新陈代谢的预测模式。以连续n年的水位数据建立灰色预测模型，预测第（n+1）a的地下水水位。本例中用每连续6a的水位数据建立灰色模型预测第7a的水位，即用1996～2001年地下水水位建立灰色模型预测2002年涌水量。更新建模所用的数据，以1994～2002年水位数据预测2003年的地下水水位。以此类推，得出2002～2006年的灰色模型地下水水位预测值，预测结果见表2。

表1 某地区1996～2006年地下水水位埋深Table1 Groundwaterleveldatafrom1996to2006

表2 灰色 GM（1，1）模型预测值Table2 ResultofGM（1，1）modelprediction

用2002～2005年的预测值作为神经网络的输入，实际涌水量作为输出训练网络。

神经网络输入层神经元个数4个，输出层神经元个数也为4个，中间隐含层取1层。隐含层的节点数可参考经验公式：

来确定。

式中：m——输出神经元数；

n——输入神经元数；

a——［1，10］之间的常数。

经过网络调试确定神经网络隐含层神经元的传递函数为S型的logsig函数，输出层神经元的传递函数为线型的 purelin函数，网络训练函数为 traingdx，隐含层神经元个数13个，网络目标误差0.001。神经网络收敛的速度较快，仅113步就达到误差许可范围，如图2所示。完成网络训练后，以灰色系统预测的2006年的地下水水位作为网络输入，经过神经网络的修正，得到2006年的地下水水位埋深为 －81.3234m，与2006年实测的地下水位埋深十分的接近，相对误差仅－2.58％，相比较灰色系统预测模型－11.82％的相对误差，大幅度提高了预测结果的精度。

用2002～2006年的预测值任选4a作为神经网络的输入，预测另一年的地下水水位，修正后的预测结果见图3。经过神经网络修正后的灰色系统的预测值与原预测值的误差对比，见表3。

图2 神经网络训练结果Fig.2 TrainingresultofNeuralnetwork

图3 神经网络修正后2002～2006年地下水位预测值Fig.3 Groundwaterleveldata ModifiedbyNeuralnetwork

表3 神经网络修正前后相对误差对比Table3 Relativeerrorcomparation

4 结论

影响地下水水位动态变化的因素有很多，从而造成了地下水动态系统的复杂性。文中所用的GM（1，1）模型与神经网络相结合的方法，充分利用了这两种方法各自的优点，避开了缺点，对预测结果的精度有了很大的提高。以收集到的某地区1996～2006年间的地下水水位埋深为算例，计算结果表明，经神经网络修正后的预测值比原GM（1，1）模型预测值的预测精度有了很大提高，且神经网络训练收敛速度较快。该修正方法的不足之处在于需要的原始数据量较多，既要用于灰色系统预测又要用于神经网络的训练，因此对于已有数据量较少的情况不建议采用。需要指出的是地下水水位受各种复杂因素以及许多不确定因素的影响，在实际中应根据具体情况，运用多种方法进行综合分析、验证，力求得到一个更加可靠、客观的预测结果。

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