混凝土徐变计算理论分析

谢群华

0 引言

徐变是混凝土的固有特性,对大跨度预应力混凝土桥梁的使用性能有着显著的影响。从最初发现混凝土的收缩、徐变现象至今已有近百年历史,而对混凝土收缩、徐变的研究也已经进行了几十年。但是混凝土徐变的机理复杂,影响因素众多,准确分析大跨度预应力混凝土梁桥的徐变效应是个复杂的问题,解决这个问题需要进行两个方面的研究:

1)获得较准确的混凝土徐变预测模型;

2)有合理的计算混凝土徐变效应的方法。本文主要研究第二点,从徐变计算理论发展过程的角度收集文献资料,通过分析、比较已有的大量徐变计算理论研究成果,将各种理论进行分类,并讨论各种理论之间的不同、分析理论间的联系。

1 徐变效应计算的基本假设

目前被实际应用的徐变计算理论均是基于线性徐变理论和徐变叠加原理[1]。通过国内外的大量徐变实验发现,当混凝土中作用的应力小于其极限强度的 50%时,混凝土的徐变应变与其应力近似呈线性关系。在混凝土结构设计中的徐变效应分析均以此假设为理论依据。当混凝土进入非线性徐变阶段时,混凝土将因徐变而呈现脆性破坏的性质,非线性徐变理论研究很少,远未达到实用阶段。根据线性徐变理论,混凝土工作应力为σ,加载龄期为τ0,则 t时刻混凝土的徐变应变可以表示为:

但是混凝土桥梁结构的应力状态通常是变化的,即σ是变化的,而徐变系数又是与变化的应力的加载龄期相关。对于变应力下的徐变,目前采用徐变叠加的方法。即混凝土结构在不同受力阶段产生的徐变增量可通过叠加的方式得到结构最终的徐变量,这就是所谓的徐变叠加原理。这一原理对于应力减小的情况也近似是成立的。早在1943年,D McHenry就提出了徐变的可逆性理论,即认为对于应力减小情况,卸载产生的徐变与加载大小相同、方向相反。根据混凝土的徐变叠加原理可认为,在τ0时刻加载初始应力σ0,τ1时刻加载Δσ1,τ2时刻加载Δσ2……的情况下t时刻总的徐变应变可以表示为:

在上述徐变叠加过程中,混凝土的应力必须为压应力,而混凝土的应力增量Δσi则可以为负。

2 徐变效应计算积分型基本公式

当混凝土中应力 σ为连续变化时,根据线性徐变理论和徐变叠加原理,可以将包含徐变应变和弹性应变的总应变表示为[2]:

也可以将式(3)写成用徐变函数J(t,τ0)表示的形式[3]:

其中,ε(t)为在变应力σc(τ)下的考虑徐变应变和弹性应变的总应变;Ec(τ)为τ时刻混凝土的弹性模量;φ(t,τ)为加载龄期为τ时,计算龄期t时刻混凝土的徐变系数;J(t,τ0)为徐变函数表示单位常应力从时间τ0起一直到时间t所产生的应变(包括弹性应变和徐变应变)。

式(3)和式(4)所表示的积分型应力—应变关系式是同一个概念的不同表示方法,常用的徐变计算理论均是基于积分型应力应变关系式的,由于上述基本关系式为积分形式,需要对其进行处理,根据处理的方法不同,主要可以分为 3种徐变计算方法:微分方程解法、代数方程解法和逐步计算法。

3 徐变效应计算理论分析

3.1 徐变效应微分方程解法

在徐变的早期,通过一定的假设,选择合适的徐变系数表达式可以将式(3)转化为微分方程表达式,进而进行求解。典型的有20世纪30年代由Dischinger提出的Dischinger法及之后发展出的将徐弹并入瞬时弹性变形的改进的Dischinger法。Dischinger法基于老化理论,转化后的方程式为:

由于转化为微分方程形式为了便于求解需要做一定的假设与实际情况有较大的出入,并且此类方法用于多层钢筋及超静定结构时计算很复杂,现在已经较少使用。

3.2 徐变效应代数方程解法

对积分型应力—应变关系式进行处理的第二种方法是将其转化为代数方程形式,主要是利用积分中值定理将式(3)中的积分形式转化为普通的代数方程形式便于计算。

此类方法比较著名的有:由H.Trost教授提出的后经Z.P. Bazant教授发展,被广泛使用直至今天的基于龄期调整的有效模量法[4]。1967年,H.Trost教授引入了一个当时称为松弛参数的概念,提出了由徐变导致的应力变化与应变变化间的代数方程表达式。1972年,Z.P.Bazant对H.Trost公式进行了严密的论证,并将其推广到变化的弹性模量和无限界的徐变系数,并将松弛参数改称为老化系数,形成了广为使用的按龄期调整的有效模量法(也称T-B法)。此法将式(3)转化为如下的代数形式:

其中,χ(t,τ0)为混凝土τ0时刻加载至t时刻的老化系数; Ecφ(t,τ0)为基于龄期调整的有效模量。

此方法计算老化系数是重点也是难点。H.Trost教授利用松弛条件,近似确定 χ值在 0.5～1.0之间,建议取 0.8。王勋文等(1996年)推导了利用徐变系数计算老化系数的公式[5]。孙宝俊也曾经提出了老化系数计算实用公式[2]。此方法不仅简化了计算,而且提高了精度,特别是可以与有限单元法相结合应用于有限元计算程序中,使得混凝土结构的收缩、徐变分析能够采用有限元程序来完成,极大的提高了计算复杂结构的能力。

3.3 徐变效应逐步计算法

逐步计算法是一种将整个时间过程(t-τ0)划分为很多个小的时段,分别计算每个小时段内的应力应变增量,通过将各个小时段内的应变增量叠加得到总的应变值。此方法在计算时需要从第一小时段逐步计算,后一时段内的应力应变增量的计算建议在前一时段基础上,计算的精度取决于划分时段的多少。格哈里(Ghali)最早提出了徐变效应的逐步计算法[6]。这些方法可以总结为三个步骤:

1)将计算历程划分为若干个小时间段,时段的多少决定了计算的精度。

2)计算每个小时段内应变增量、徐变增量。计算每个时段内应力产生的徐变量时,每个时段内的应力处理可以采用矩形公式(即常应力)、梯形公式或抛物线型辛普森积分公式。

3)按照划分的小时段逐步计算,依次得出每个时刻的徐变效应直至所需时刻。逐步计算法容易与有限元相结合,可以通过增加划分的时段来提高计算精度,计算效果较好。

在逐步计算法中,某个小时段的徐变增量及应力增量计算与前面各个时段的应力历史及徐变特征有关,在计算复杂结构时需要储存大量的数据,在实际计算中需要采用压缩存储量的方法。目前最为成熟和实用的方法是朱伯芳院士提出的一套隐式解法,它既大大的提高了计算精度,又有效的节省存储空间[7]。高政国提出了一种混凝土结构徐变应力分析的全量方法,全量理论的基本原理是把荷载全部作用于结构,然后逐级调整位移,直到平衡条件得到满足[8]。

4 结语

通过对已有研究成果总结分析,目前常用徐变效应计算理论都基于线性徐变理论和徐变叠加原理,由这两个基本假设得出的徐变效应计算积分型基本公式是共同基础。针对这个基本公式的不同处理方式,发展出了相应的不同计算理论。目前较常用的是代数方程形式的基于龄期调整的有效模量法和逐步计算法。前者的难点在于老化系数的计算,而后者的难点在于计算过程中需要记录应力应变历史,目前研究热点是怎样实现不存储应力应变历史,一般是将徐变系数拟合成采用指数函数形式,利用指数函数特点推导出徐变应变增量的递推公式来避免储存应力应变历史。同时这两种方法也有联系,会在逐步计算法中引入基于龄期调整的有效模量法的理论,提高逐步计算法的精度。

[1] 周 履,陈永春.收缩徐变[M].北京:中国铁道出版社, 1994.

[2] 孙宝俊.混凝土徐变理论的有效模量法[J].土木工程学报, 1993(3):66-68.

[3] 孙海林,叶列平,丁建彤.混凝土徐变计算分析方法[A].高强与高性能混凝土及其应用——第五届学术讨论会论文集[C].2004.

[4] Z.P.Bazant.Prediction of concrete creep effect using Age-adjusted effective modulus method[J].Journal of the American Concrete Institute,1972,69(4):212-217.

[5] 王勋文,潘家英.按龄期调整有效模量法中老化系数 x的取值问题[J].中国铁道科学,1996,17(3):12-23.

[6] 周建民.考虑时间因素的混凝土结构分析方法[D].上海:同济大学,2006:30-39.

[7] 朱伯芳.混凝土结构徐变应力分析的隐式解法[J].水利学报,1983(5):40-46.

[8] 高政国,黄达海,赵国藩.混凝土结构徐变应力分析的全量方法[J].土木工程学报,2001,34(4):10-14.