矩阵测度在消除电力系统铁磁谐振中的应用

冯平，王尔智，王维俊

(1.解放军后勤工程学院机械电气工程系，重庆401311；2.沈阳工业大学电气工程学院,辽宁沈阳110178）

在110～220kV等中性点接地电力系统中，经常发生断口电容与电压互感器形成的铁磁谐振，给电力系统造成很大的危害。围绕这种谐振的机理及消除方法，国内外进行了广泛的研究[1，2]。从方法上来看，目前对这种铁磁谐振问题所主要采用的方法有如下几种。第一是实验研究[3，4]。即通过大量的实验数据得到各种经验结论。第二是进行数值模拟和仿真[5，6]。通过建立模型，在大范围内改变参数，通过计算机计算得到或验证参数的范围。第三是理论研究[7，8]。即对这种谐振建立相应的数学模型，通过对模型的理论分析，了解这种谐振的机理，并且寻找消除谐振的方法。这3种方法中，理论分析具有决定性的意义，主要有作图法[1，8]、谐波平衡法[5，6]、平面相图法[4]，幅频法、描述函数法[1-3]、非线性动态系统理论[4，7]等。但由于该问题数学上的复杂性，目前采用的都是各种近似的方法，得到的结论和试验数据往往有一定的差距。因此，提出和发展新的分析铁磁谐振的方法，并对该问题进行更深入的分析是很有意义的。惟一稳态消谐法是近年出现的消除非线性系统谐振新的分析方法[9]。该方法的基本思想是如果非线性系统存在一个非谐振的正常解,并且该系统具有惟一的稳态,则此时对应的条件就是系统不发生谐振的条件。本文将这一方法应用在消除中性点接地电力系统铁磁谐振的分析中，以矩阵测度为工具，得到了相应的消谐条件。

1.等效电路及其数学模型

中性点接地电力系统铁磁谐振的模型如图1所示[10]。

图1 铁磁谐振等效电路

基准值为[11]：对所研究的220kV系统，三相电压vbase=220kV，单相电压vbase=127kV，单相视在功率Sbase=100V·A，角频率ωbase=314 rad/s，阻抗的基准值为Rbase=16 MΩ，Cbase=1（Rbase×ωbase）=1/（5.06×1010）F。互感器磁链与电流关系由一个三阶代数方程表示如下：

式中：ψ为互感器磁链，此处a=3.42，b=0.41。

对应于图1，按照图中的参考方向，可以得到电路的状态方程为：

归一化后电路的微分方程为：

可证明，电路至少存在一个以T为周期的解[12]。对于式（2），设其任意2个有界解为：

并令：

于是可以得到增量状态方程为：

考虑式（4）的一般形式：

显然，如果式(5)的零解X=0是全局渐进稳定的，即：

则图1所示电路的稳态惟一，即系统的不谐振条件。

2 电路惟一稳态的条件求取[9]

惟一稳态消谐法的基本思想是如果非线性系统存在一个非谐振的正常解,并且该系统具有惟一的稳态,则此时对应的条件就是系统不发生谐振的条件。按照这一方法，对于图1和状态方程（3），大量实验和运行经验表明其有多个稳态解，其中最常见的稳态解，就是没有发生谐振时，对应于系统正常工作状态的稳态解。系统的其他非正常的稳态解，则是由于扰动，引起C与L之间的铁磁谐振造成的稳态解。显然这些非正常的稳态解对于系统是有害的，如果能够使经扰动后的非正常稳态解趋于正常的稳态解，即使系统的稳态解惟一，那就可以达到消除系统铁磁谐振的目的。

为求得系统的惟一稳态，首先给出如下定义：定义1对于2矩阵A=(aij)n×n和B=(bij)n×n，如果aij≥bij，则记A≥B。

定义2[12]对于矩阵A=(aij)n×n如其范数是：

则其测度定义为：

即：

于是，有如下的定理：

定理1，对于式（5），如果μp（A）＜0，则式（2）有惟一稳态。证明：

显然，如果μp（A）＜0，则即式（2）有惟一稳态。证毕。

下面根据定理1，推导消除谐振的条件。对比式（4，5），显然有：

于是，根据定理1，得到图1所示的铁磁谐振电路不发生谐振的条件为定理2。

定理2，对于图1所示电路，其不发生谐振的条件为：

根据文献[6]取参数(均为标幺值)E=1，a=3.42，b=0.41，C=0.5，3.42＜KL＜8.8，角频率为1，代入定理2，得到当R2＞2.0，0＜R1＜0.5时，没有铁磁谐振发生。

3 数值模拟与讨论

下面取不同的参数，在不同的初始条件下，对电路进行模拟仿真，以检验电路是否发生谐振。初始条件顺序为：磁链、电容电荷、时间、初始条件按文献[6]选定。

通过模拟结果表明，如果电路参数满足定理2的条件，则电路无论在何种初始条件下，虽然经过非常复杂的振荡过程，其稳态都将是惟一的，最终所有解都将趋近正常解，不会出现铁磁谐振，验证了本文给出的条件的正确性。

如下是其中一组数据的振荡过程。初始条件：ψ0=2.4，q0=1.4，t0=0。

图2 电路稳态相图

4 结束语

本文根据惟一稳态消谐法基本思想，利用矩阵测度，分析了消除中性点接地电力系统的铁磁谐振的参数条件，得到了相应的消谐条件。同时通过数值模拟进行验证，表明结果正确，同时也说明惟一稳态消谐法有效性。

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