量子粒子群算法优化钢结构截面

谭德坤

(南昌工程学院计算机系,江西南昌 330099)

0 前言

近年来,钢结构在各行各业取得了广泛的应用,它是现代建筑工程中较普通的结构形式之一。钢结构除了在综合经济指标上具有竞争力之外,还符合社会可持续发展关于材料再利用及环保的要求,它是一种绿色结构[1]。在合理使用钢结构的工程中,应力求设计出先进、合理,尽量降低钢材消耗,并能保证可靠性要求的结构。传统的刚结构基本构件截面设计中,由于涉及到的未知量太多,截面设计时往往采用试算法,首先根据已有工程经验进行初选,然后再进行各项验算,验算不合适时,则调整截面尺寸,继续重新验算,直到满足设计要求为止。由于计算复杂,初选截面尺寸大多不一定合适,因而需要进行多次调整才能得到比较满意的截面[2-3]。该过程常采用手算,计算量大,计算过程中费时费力,而且容易出错,对工程技术人员而言,是一项比较辛苦而繁琐的工作。随着计算机的日益普及和优化算法的快速发展,通过电脑编程对构件进行快速、准确的优化计算,从而减轻工程技术人员的劳动强度,已经成为工程结构设计领域中的新趋势。

目前,已有不少学者对钢结构截面的优化设计进行了研究,如熊义泳等给出了一系列钢结构基本构件截面设计的简化算法[2,4-5],上述文献中所提简化算法的核心都是根据工程设计要求初选截面参数,从而提高所选截面的准确性,减少试算次数,设计出较为合理的优选截面。文献[6-8]也探讨了不同钢构件截面的快速优化方法,文献[6]通过简化假定,给出了截面特性的简化计算表达式,但计算假定与工程实际有出入;文献[7]采用准则优化方法,以用钢量为目标函数,通过方程求导直接给出设计公式;文献[8]首先通过作图法求得初选截面参数,然后通过少量试算获得理想截面。但是上述研究的着眼点都是为了减少手算次数,是一种基于手算过程的快速算法。钢结构截面优化设计问题具有非线性、离散性、不可微、非凸性等特点[9],而进化算法是一种具有全局寻优能力的智能寻优方法,它为解决该类问题提供了一种全新的思路。

粒子群算法(PSO)[10]是Eberhart和Kennedy于1995年提出的一种集群智能优化算法。在深入研究 PSO算法单个粒子收敛行为的基础上,文献[11]从量子力学的角度出发提出了量子粒子群优化算法(QPSO)。QPSO算法的特点是计算简单、容易实现、控制参数少,它比标准PSO算法具有更强的全局搜索能力。

本文就是利用量子粒子群算法来进行钢构件截面选择时的优化计算,该方法计算精度高,收敛速度快,是一种有效的钢结构截面优化计算方法。

1 量子粒子群优化算法

1.1 约束优化模型描述

非线性约束优化设计模型可以描述为[12]:

设计变量:X=[x1,x2,…,xn]T。

目标:min f(X)。

约束:ai≤xi≤bi(i=1,2,…,n);

hj(X)=0(j=1,2,…,p);

gk(X)≤0(k=1,2,…,l),

式中,ai、bi为第i个设计变量xi的上、下限;n为设计变量的个数;p为等式约束的个数;l为不等式约束的个数。

1.2 量子粒子群算法

量子粒子群算法是在PSO算法的基础上,结合了量子力学中粒子在一维δ势阱中的运动规律而提出的新的全局优化算法。在量子世界中,粒子运动轨迹不受限制,只随时间演化,它可以在整个可行解空间中进行搜索,因而QPSO算法的全局搜索性能远远优于标准PSO算法。与PSO算法不同,在QPSO算法中,粒子按照下列公式更新位置[11,13]:

式(1)表示通过蒙特卡罗随机模拟方式得到粒子的位置方程,β称为收缩-扩张因子,它是 QPSO的一个重要参数,第T次迭代时可取β=0.5(MaxIter-T)/MaxIter,MaxIter是总的迭代次数;u为(0,1)范围内变化的随机数;pid和mbest分别由如下两式求得。

为了保证算法的收敛性,每一个粒子必须收敛于各自的p点,p=(p1,p2,…,pd),第i个粒子 p点的第d维坐标为:

式中,φ是(0,1)之间的随机数;pid是介于pbest和gbest之间的随机位置。

式中,mbest是所有粒子当前最优位置的中心点;M为种群规模。

从上述方程可以看出:QPSO与PSO明显的区别是前者引入了粒子位置的随机指数分布,它使得粒子在每一个迭代步的搜索空间是整个可行解空间,增强了搜索全局最优解的能力。同时又引入了mbest的信息,它使得QPSO的收敛性能大大提高,原因是个体间的协调性更强,单个粒子不能独自收敛,必须等待其他粒子。

1.3 算法描述

从前述分析可以看出QPSO算法是一种全局优化算法,其具体步骤如下:

(Ⅰ)设定初始参数,产生初始种群。

(Ⅱ)计算粒子的当前适应度值,并与前一次迭代的值进行比较,如果当前适应度值比前一次的小,则更新粒子的当前位置,即如果f(xi(t+1))＜f(pi(t)),则pi(t+1)=xi(t+1)。

(Ⅲ)计算平均最优位置mbest。

(Ⅳ)计算群体的当前全局最优位置,并与前一次迭代的全局最优位置比较,若当前全局最优位置较好,则更新种群的全局最优位置。

(Ⅴ)对粒子的每一维,根据式(2)计算随机点位置pi,并根据式(1)计算粒子的新位置。如果某一粒子飞出搜索空间(即违反约束条件),则令该粒子的位置大小等于其边界值,并令其速度乘以-1,以使该粒子向相反的方向搜索。

(Ⅵ)检验是否符合结束条件:若达到迭代停止条件(当前迭代次数达到最大迭代次数或者最优解达到最小误差要求),则算法结束,返回当前最优个体作为解输出;否则,转步骤(Ⅱ)。

2 钢结构基本构件优化计算实例

本文使用QPSO算法对两个典型的钢结构截面优化问题进行了求解。数值实验在Matlab平台下进行,种群规模 N=20,取最大迭代次数为T=50。并将本文算法的结果与传统的试算法及标准 PSO算法的结果进行了比较。

算例1 轴心受压柱截面优化计算问题

如图1所示,一轴心受压柱,采用焊接箱型截面,钢材为 Q235,柱截面无削弱,柱的上下端均为铰接,柱高6 m,轴心压力设计值为N=6 000 kN(包括柱身自重)[14]。试设计该截面。

设截面参数为:腹板厚度为x1,高度为 x2,翼缘板宽度为 x3,厚度为 x4。设轴心压力为 N,设计强度值为f,x方向的计算长度为lox,y方向的计算长度为 loy,容许长细比为[λ],则该截面优化计算的数学模型为:

计算变量:x1,x2,x3,x4。

目标函数:minA=2x1x2+2x3x4。

约束条件:

图1 算例1示意图

(Ⅲ)刚度要求:[λ]=max{λx,λy}≤150。

(Ⅳ)工程构造要求:x1≥4,且 x1、x4取 2的倍数,x2、x3取 10的倍数。

从以上可以看出:对于钢构件的截面优化设计问题,其数学模型的建立是根据设计规范[15]和实际工程的具体要求转化为一系列的约束条件,以一组不等式的形式表达出来。

量子粒子群算法对该截面优化计算问题进行求解,即求解不同的参数 x1,x2,x3,x4,在满足约束条件的情况下,使面积A最小。在本例中,lox=600 cm,loy=600 cm,fy为钢材屈服点的标准值,对Q235钢,fy=235 N/mm2,稳定系数φ由Perry公式[16]求得,长细比λx,λy由文献[16]中提供的公式进行计算。本文计算结果与 PSO计算结果及文献[14]中的手工试算结果进行了比较,结果如表1所示。

表1 算例1的计算结果比较

从表1的结果可以看出:手工试算结果最差,这主要是凭设计者的个人经验,经验丰富与否对结果影响很大。PSO计算结果其次,原因是其搜索过程中易陷入局部最优,所得结果常常是局部最优解,未搜寻到全局最优解。而QPSO引入了量子特性,可以在整个可行解空间中进行搜索,具有较强的全局寻优能力,所得计算结果均优于文献[14]手工试算结果及 PSO计算结果,在满足工程要求的前提下,它的经济性比前者节省3.5%,比后者节省1.08%。

算例2 实腹式单向压弯构件截面优化计算问题

一个 Q235钢焊接工字形截面压弯构件,两端铰接,翼缘板为剪切边,截面无削弱。承受轴向压力设计值N=880 kN,跨中集中横向荷载设计值F=180 kN。构件长l=10 m,横向荷载作用处有一侧向支撑[14]。试设计该截面尺寸。

设截面参数为翼缘宽度为b(x1),厚度为t(x2),腹板高度为h0(x3),厚度为tw(x4)。设轴心压力为N,设计强度值为 f,x方向的计算长度为 lox,y方向的计算长度为 loy,容许长细比为[λ]。翼缘板为剪切边的焊接工字形截面构件对强轴x轴屈曲时属b类截面,对y轴属c类截面。根据文献[15]的设计要求,则建立该截面优化设计问题的数学模型如下:

计算变量:x1,x2,x3,x4。

目标函数:min A=2x1x2+x3x4。

约束条件:

(Ⅰ)弯矩作用平面内的整体稳定要求(见文献[15]中5.2.2-1条):

(Ⅱ)弯矩作用平面外的整体稳定性要求(见文献[15]中5.2.2-3条):

(Ⅲ)翼缘板局部稳定性要求(见文献[15]中5.4.1条):

(Ⅳ)腹板局部稳定性要求(见文献[15]中5.4.2条):

当0≤a0≤1.6时,

当1.6＜a0≤2时,

(Ⅴ)刚度要求:[λ]=max{λx,λy}≤150。

(Ⅵ)工程构造要求:x4≥4,且 x2、x4取 2的倍数,x1、x3取 10的倍数,它们均为正数。

用QPSO算法对该截面优化计算问题进行了计算求解,并与PSO算法结果及文献[14]的手工计算结果进行了比较,比较结果见表2。

从表2中可以看出:在满足工程约束要求的前提下,QPSO算法得到了较为理想的截面优化计算结果,其截面面积最小,它的经济性比文献[14]计算结果节省 20.3%,比标准粒子群算法的优化结果节省6.6%,优化效果很明显。

表2 算例2的计算结果

从上述两个优化算例的计算结果均可以看出:本文算法是实用、有效的,性能优良。

3 结论

本文将具有群体智能的优化算法——PSO算法引入结构工程领域,利用它进行钢结构基本构件的优化设计,针对标准PSO算法易早熟收敛的缺陷,用量子特性对PSO算法进行了改进,提出了基于量子特性的QPSO算法。为了验证本文方法的正确性,用两个典型的钢结构基本构件截面优化设计算例对其进行了验证,从计算结果可以看出本文优化效果较优,可用于工程实际。

致谢:本文在撰写过程中,南昌工程学院土木系熊义泳教授对专业术语的解释、作图规范等各方面提供了大力帮助,并提供了有关的国家标准。作者在此表示衷心感谢!

[1] 尚守平.绿色结构工程[M].北京:中国建筑工业出版社,2009.

[2] 熊义泳.实腹式型钢截面压弯构件设计的简化算法[J].建筑结构,2006,36(4):68-69.

[3] 吴银辉.钢结构轴心受压截面设计方法探讨[J].四川建筑,2003,23(6):72-81.

[4] 熊义泳,陈述,罗文海.组合梁截面选择的一种改进设计方法[J].南昌工程学院学报,2010,29(1):21-24.

[5] 熊义泳,赵江倩.实腹式组合截面压弯构件的简化计算方法[J].工业建筑,2006,36(7):87-91.

[6] 段树鑫.焊接工字形钢梁截面设计的直接算法[J].建筑结构,1999(11):51-55.

[7] 彭兴黔.等边角钢四肢方阵式格构柱截面的优化设计[J].华侨大学学报:自然科学版,2000,21(2):161-163.

[8] 董军.H形压弯构件截面设计快速优化方法[J].建筑结构,1995(5):18-22.

[9] 黄冀卓,王湛,龚明袖.遗传算法在钢结构截面优化设计中的应用[J].四川建筑科学研究,2005,31(3):26-30.

[10] Eberhart R C,Kennedy J.A New Optimizer Using Particle Swarm Theory[C]//Proceedings of the Sixth International Symposium on Micro Machine and Human Science.Nagoya,Japan,Piscataway,NJ:IEEE Service Center,1995:39-43.

[11] Sun J,Feng B,Xu W B.Particle Swarm Optim ization with Particles Having Quantum Behavior[C]//Proceedings of 2004 Congress on Evolution Computation.Piscataway,NJ:IEEEPress,2004:325-331.

[12] 王勇,蔡自兴,周育人,等.约束进化优化算法[J].软件学报,2009,20(1):11-29.

[13] Sun J,Feng B,Xu W B.A Global Search Strategy of Quantum-behaved Particle Swarm Optimization[C]//Proceedings of IEEE Conference on Cybernetics and Intelligent Systems.Piscataway,NJ:IEEE Press,2008:111-116.

[14] 夏志斌,姚谏.钢结构设计例题集[M].北京:中国建筑工业出版社,1994.

[15] 中华人民共和国建设部.GB50017—2003钢结构设计规范[S].北京:中国建筑工业出版社,2003.

[16] 魏明钟.钢结构[M].武汉:武汉理工大学出版社,2005.