自动化专业“离散数学”教学方法思考

郑 征,陈丽莎

(北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院,北京100191)

1 自动化专业与离散数学

离散数学是数学中几个分支的总称,研究基于离散空间而不是连续的数学结构。与光滑变化的实数不同,离散数学的研究对象(例如整数、图和数学逻辑中的命题)不是光滑变化的,而是拥有不等、分立的值[1,2]。离散数学被视为处理可数集合的数学分支[3](与整数子集基数相同的集合,包括有理数集但不包括整数集)。

在自动化专业开设“离散数学”课程的必要性主要有三个方面:①自动化专业的相关问题中,离散对象、结构和系统普遍存在;②自动化专业很多新兴技术都以离散数学作为其数学基础,例如离散最优控制技术、智能控制技术、网络控制技术、人工智能技术和互联网技术等;③离散数学是计算机科学的理论基础,也是计算机应用的有力工具。

因此,在自动化专业中开设“离散数学”课程是迫切需要的。清华大学自动化专业从2007年开始就将离散数学作为必修课开设,北京航空航天大学自动化科学与电气学院也从2009年开设了离散数学的课程[4]。

2 教学工作中遇到的问题

1)教材内容大多以计算机学科为背景

现有“离散数学”的教材和课件中大多以计算机学科中的问题为应用实例或背景进行讲解,然而在自动化专业的本科生中大多没有这方面的基础知识,所以授课教师需要花费大量时间来重新整理教材和编写课件,这极大的增加了授课的工作量。例如,在逻辑部分(包括命题逻辑和谓词逻辑)的讲解中,大多数教材都以计算机科学中的自动程序设计、逻辑程序设计等为示例,但命题逻辑作为模糊控制理论中的推理基础,将其和模糊控制相结合向自动化专业学生进行讲述更为适且。

2)课程自身特点对学习提出更高要求

“离散数学”课程有如下特点:①离散数学中的定义、定理比较多;②课程内容理论性强,用抽象的数学语言描述离散对象和结构,缺少直观性;③课程内容分散且抽象。

3)课程内容丰富与课时少矛盾

离散数学内容包括了数理逻辑、集合论、代数结构、图论等。由于学时总数限制,内容丰富和学时较少的矛盾比较突出。

3 改进教学方法和措施

1)深入剖析教学内容

离散数学中的定义和定理比较多,引导学生掌握不同的定义和定理之间的相互联系,并对相近的定义、定理之间的相互区别进行深入剖析。如在命题逻辑中的简单析取式、析取范式和主析取范式;简单合取式、合取范式和互合取范式这几个定义以及图论中的通路、连通性、连通分支和割集这几个概念,它们既相互有联系,又相互有区别。

2)提高学生对离散数学的认识

“离散数学”课程除了教给学生离散数学知识以外,更重要的是要通过严格的训练,培养学生严谨的逻辑推理能力、抽象思维能力和解决实际问题的能力。离散数学的主要内容之一数理逻辑是研究推理的学科,在模式识别、离散事件系统和智能控制等的研究中有重要的应用;集合论、布尔代数和图论在自动化科学中也有广泛的应用,他们为不确定性理论、网络控制等学科奠定了数学基础,也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的一些重要方法。

3)注重培养学生学习主动性

我们在授课“离散数学”课程过程中,应该在讲解分析理论基础上结合自动化学科应用。例如,在集合论的章节中通过比较引入模糊集的基本概念;在命题逻辑中引入模糊推理的基本思想;在图论中适当描述网络控制和小世界理论等。同时,适时地将最新研究成果引入教学过程,将授课内容与实际的科研项目紧密联系。既可以使授课内容更加全面,又可以开拓学生视野,从而激发学习兴趣,启发深入思考能力。如讲授命题逻辑时,与机器人路径规划问题相联系;在讲授博弈树时,与无人机攻防对抗问题相联系。此时很多学生不但听课认真,而且课后积极思考并提出了很多问题。

4)采用启发式教学

我们在讲授“离散数学”课程时,要用启发式教学。要使用更多的例子来讲解和分析复杂多样的概念和规则,对每一个概念和规则均给出具体的、通常是日常生活或专业应用中的示例。例如一阶谓词逻辑主要是在命题逻辑基础上补充了谓词、量词和函数的概念,其中的很多公式都是将命题逻辑中的公式进行了代换。因此课堂中应该着重讲解这些代换规则,以及在代换中涉及的量词辖域的收缩与扩张等问题。

5)教学方式多样化

我们在“离散数学”的教学过程中,要采用多媒体和板书相结合的教学方式。同时,针对部分授课内容编写基于Matlab或VC的程序,有助于知识的消化和理解。除此之外,要注意图示化方法在教学过程中的使用。如用点线图分析特殊图的特征、复合关系的形成,用区域图描述集合关系,用图表表示关系的性质特征等。

6)重视实践环节

笔者在授课过程中将无人机指挥自动化系统中需要解决的问题(例如无人机模糊控制、路径规划和关键设施攻击等)以及在解决这些问题中使用的方法融入到多个章节的讲述中,阐述各章的知识点在这些问题解决方法中的应用,并组织部分学生参与到实际项目中进行实践。

[1] Richard Johnsonbaugh.Discrete Mathematics[M].Prentice Hall,2008.

[2] Eric W.Weisstein.Discrete mathematics[M].MathWorld,2002.

[3] Norman L.Biggs.Discrete mathematics[M].Ox ford University Press,2002.

[4] 吴澄,对自动化学科现状和发展的讨论.2001年中国自动化教育学术年会[C],2001,1-3。