一类与Virasoro代数有关的李代数的中心扩张

吕彦玮，朱林生

（1.苏州科技学院数理学院，江苏苏州 215011；2.常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

一类与Virasoro代数有关的李代数的中心扩张

吕彦玮1，朱林生2

（1.苏州科技学院数理学院，江苏苏州 215011；2.常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

通过计算生成元确定了一类Virasoro型李代数的二上同调群及其维数，进而给出了这类李代数的中心扩张李代数．

李代数；2-上循环；2-上边缘；第二上同调群；普遍中心扩张

0 引言

Virasoro型李代数在数学和物理领域有广泛的应用，已被广泛研究，例如文献[1]中的结果．本文我们考虑如下类型的李代数N有一组基{Lm,Mm,YP|m∈Z,p∈Z}并且满足下列关系式：

其中m，n，p，q∈Z.

在文献[2]中，我们研究了该李代数的导子代数，证明了该李代数是完备李代数．本文我们研究李代数N的中心扩张．

1 主要结果

设g是一个李代数．双线性函数ψ：g×g→C是g上的2-上循环，如果对所有的x,y,z∈g,下面两个条件满足：

对任意线性函数f:g→C,我们可以定义一个2-上循环ψf：ψf(x,y)=f([x,y]),∀x,y∈g.这样的2-上循环称为g上的2-上边缘．

C2(g,C),B2(g,C)分别代表2-上循环和2-上边缘的向量空间．则商空间H2(g,C)=C2(g,C)/B2(g,C)称为g的第二上同调群．

下面是我们的主要定理.

定理1.1dim H2(N,C)=3.

证明设φ:N×N→C是N上的2-上循环，令f:N→C是一个线性映射定义如下：

即dim H2(N,C)=3.

下面讨论中心扩张．首先回忆一些概念和已知结果．

设g是一个完满李代数，即[g，g]=g.(g,π)称为g的一个中心扩张，如果π:g→g是一个核在李代数g的中心的满同态．若g也是完满的李代数，则称(g,π)是g的一个覆盖．在文献[3]中已经证明每一个完满李代数都有一个普遍中心扩张．对于我们研究的完满李代数N，令N=N⊕CCL⊕CCLM⊕CCM是一个复数域C上的向量空间，其基为{Ln,Mn,Yn,CL,CLM,CM|n∈Z}，满足下面的关系式

[4]，我们有下面的引理：

引理1.3李代数N的每个导子可提升为N的一个导子，并且这个提升是唯一的，且Der(N)≅Der(N)．

证明因为N是N的普遍中心扩张，且由文献[2]中推论2.10，C（N）=0，且N是一个完满李代数．由推论1.2、引理1.3，我们有D(CL)=D(CLM)=D(CM),对所有的D∈Der(N)．因此结合文献[2]中定理2.4，我们有Der(N)=Inn(N)．

参考文献：

[1]Gao S,Jiang C,Pei Y.Structure of the extended Schrödinger-Virasoro Lie algebra[J].Alg Colluq,2009,16:549-566.

[2]吕彦玮，朱林生.一类李代数的导子代数[J].常熟理工学院学报，2011，25（2）：6-10．

[3]Garland H.The arithmetic theory of loop groups[J].Publ Math IHES,1980,52:5-136.

[4]Benkart G M,Moody R V.Derivations,central extensions and affine Lie algebras[J].Algebras Groups Geom,1986（4）:456-492.

Central Extensions of a Class of Lie Algebra Related to Virasoro Algebra

LV Yan-wei1,ZHU Lin-sheng2
(1.School of Mathematics and Physics,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009,China；2.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

Through the calculation of generators,we determine second cohomology group and dimension of a class of Lie algebra related to Virasoro algebra.Then its central extensions are given out in this paper.

Lie algebra;2-cocycle;2-coboundary;second cohomology group;universal central extensions

O152.5

A

1008-2794（2011）08-0010-05

2011-05-19

苏州科技学院2010年度研究生科研创新计划项目（SKCX10S_027）．

吕彦玮（1985—），女，河北石家庄人，苏州科技学院数理学院基础数学专业2008级研究生．

朱林生（1962—），男，江苏吴江人，常熟理工学院数学与统计学院教授，博士，研究方向：李代数，E-mail: lszhu@cslg.edu.cn．