关于一类含有线性算子的亚纯多叶函数

徐能

（常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

关于一类含有线性算子的亚纯多叶函数

徐能

（常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

引进和研究了一类含有线性算子的新的多叶亚纯函数，得到了这一函数类中的一些有趣性质，如包含关系、卷积性质等.这些结果改进和拓展了早期的一些工作，同时也得到了其他一些新的结果.

亚纯函数；多叶函数；凸单叶函数；Hadamard乘积（或卷积）；从属；线性算子

1 预备与引理

设Σp表示由形如

组成的在去心单位圆盘U0={z:0＜|z|＜1}内解析的函数类.一个函数f(z)∈Σp被称为是在类Σ*p(α)中，如果对某些α(α＜1)满足条件

注意到对于0≤α＜1,Σ*p(α)是α阶p叶亚纯星型函数类.同时，我们写Σ*1(α)=Σ*(α).

对于由（1.1）给出的f(z)∈Σp和g(z)∈Σp，这里

则f(z)和g(z)的Hadamard乘积（或卷积）定义为

这里c∉{0,-1,-2,…}，(x)0=1,(x)n=x(x+1)…(x+n-1)(n∈ℕ).相应于函数φp(a,c;z)，广义超几何函数

现在我们定义函数φp(a,c;z)为

这里l≤m+1,l,m∈ℕ0:=ℕ⋃{0},βj∉{0,-1,-2,…}(j=1,2,…,m).现在我们定义

近来，Liu和Srivastava[1]通过下列Hadamard乘积

定义了一类新的线性算子

这里f(z)∈Σp,l≤m+1,l,m∈N0,βj∉{0,-1,-2,…}(j=1,2,…,m).如果f(z)∈Σp由（1.1）给出，则从（1.3）和（1.4）我们有

lFm(α1,…,αl;β1,…,βm;z)被定义为下列级数:

为了使记号简便，我们引进

特别地，对于p=1,l=2,m=1和α1=a,α2=1,β1=c∉{0,-1,-2,…},我们得到线性算子

这是由Liu和Srivastava[2]以及Yang[3]分别独立引进和研究的.

令P是由在U内凸单叶并且满足条件h(0)=1,Reh(z)＞0(z∈U)的解析函数所组成的函数类.

设f(z)和g(z)在U内解析.如果存在一个在U内的解析函数w(z)，使得

则称函数f(z)是在U内从属于g(z)，记为f(z)≺g(z).进一步，如果g(z)在U内单叶，则

在整篇文章中，我们设

显然，对于k=1,我们有

关于k-对称点的亚纯（或解析）函数类已经被许多学者所研究（见文献[4-9]）.

在本文中，使用线性算子Hl,mp(α1;β1)和两个解析函数间的从属，我们引进和研究了下列Σp中的子类:

定义函数f(z)∈Σp如果满足条件

导致函数类Σp,k(a,c;h)，这是最早由Srivastava，Yang和Xu（见文献[5]）引进和研究的.有关亚纯函数的研究

还可参见文献[1-3，10-19]等.

为了导出我们的结果，需要下列引理.

在本文中，我们的目标是给出函数类Σl,mp,k(α1;β1;h)中的包含关系，卷积性质及其他一些新的结果.我们的结果改进和扩展了一些早期的结论.

2 卷积性质

定理1设h(z)∈P,α＜1且满足

[1]Liu Jinlin，Srivastava H M.Classes of meromorphically multivalent functions associated with the generalized hypergeometric function [J].Math Comput Modelling，2004，39:21-34.

[2]Liu Jinlin，Srivastava H M.A linear operator and associated families of meromorphically multivalent functions[J].J Math Anal Appl，2000，259:566-581.

[3]Yang Dinggong.Certain convolution operators for meromorphic Functions[J].Southeast Asian Bull Math，2001，25:175-186.

[4]Sakaguchi K.On a certain univalent mapping[J].J Math Soc Japan，1959，11:72-75.

[5]Srivastava H M，Yang Dinggong，Xu Neng.Some subclasses of meromorphically multivalent functions associated with a linear operator[J].Appl Math Comput，2008，195:11-23.

[6]Sudharsan T V.On functions starlike with respect to symmetric and conjugate points[J].Taiwan J Math，1998（2）:57-68.

[7]Wang Z G，Gao C Y，Yuan S M.On certain subclasses of close-to-convex and quasi-convex functions with respect to k-symmetric points[J].J Math Anal Appl，2006，332:97-106.

[8]Yang Dinggong，Liu Jinlin.On Sakaguchi functions[J].Internat J Math Math Sci，2003，30:1923-1931.

[9]Yuan S M，Liu Z M.Some properties of α-convex and α-quasiconvex functions with respect ton-symmetric points[J].Appl Math Comput，2007，188:1142-1150.

[10]Aouf M K.Certain subclasses of meromorphically multivalent functions associated with generalized hypergeometric function[J]. Comput Math Appl，2008，55:494-509.

[11]Aouf M K.Argument estimates of certain meromorphically multivalent functions associated with generalized hypergeometric function[J].Appl Math Comput，2008，206:772-780.

[12]Cho N E，Kim I H.Inclusion properties of certain classes of meromorphic functions associated with the generalized hypergeometric function[J].Appl Math Comput，2007，187:115-121.

[13]Cho N E，Kwon O S，Srivastava H M.Inclusion and argument properties for certain subclasses of meromorphic functions associated with a family of multiplier transformations[J].J Math Anal Appl，2004，300:505-520.

[14]El-Ashwah R M.Some properties of certain subclasses of meromorphically multivalent functions[J].Appl Math Comput，2008，204:824-832.

[15]Liu Jinlin.Some properties of certain meromorphically multivalent Functions[J].Appl Math Comput，2009，210:136-140.

[16]Liu Jinlin，Srivastava H M.Subclasses of meromorphically multivalent functions associated with a certain linear operator[J].Math Comput Modelling，2004，39:35-44.

[17]Raina R K，Srivastava H M.A new class of meromorphically multivalent functions with applications to generalized hypergeometric functions[J].Math Comput Modelling，2006，43:350-356.

[18]Srivastava H M，Patel J.Applications of differential subordination to certain subclasses of meromorphically multivalent functions [J].J Inequal Pure Appl Math，2005，6（3）:1-13.

[19]Wang Z G，Jiang Y P，Srivastava H M.Some subclasses of meromorphically multivalent functions associated with the generalized hypergeometric function[J].Comput Math Appl，2009，57:571-586.

[20]Ruscheweyh S.Convolutions in Geometric Function Theory[M].Montreal:Les Presses de Universite de Montreal，1982.

[21]Ruscheweyh S.New criteria for univalent functions[J].Proc Amer Math Soc，1975，49:109-115.

[22]Xu Neng，Yang Dinggong.An application of differential subordinations and some criteria for starlikenedd[J].Indian J Pure Appl Math，2005，36:541-556.

[23]Suffridge T J.Some remarks on convex maps of the unit disk[J].Duke Math J，1970，37:775-777.

A Class of Meromorphically Multivalent Functions Involving a Linear Operator

XU Neng
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

meromorphic functions;multivalent functions;convex univalent functions;linear operator;convolu⁃tion;k-symmetric points;subordination

O174.5

A

1008-2794（2011）08-0001-09

2011-05-19

国家自然科学基金（10871094）资助项目.

徐能（1961—），男，江苏常熟人，常熟理工学院数学与统计学院教授，研究方向：函数论.