关于一类含有线性算子的亚纯多叶函数

2011-03-31 09:31徐能
常熟理工学院学报 2011年8期
关键词:乘积理工学院算子

徐能

(常熟理工学院数学与统计学院,江苏常熟 215500)

关于一类含有线性算子的亚纯多叶函数

徐能

(常熟理工学院数学与统计学院,江苏常熟 215500)

引进和研究了一类含有线性算子的新的多叶亚纯函数,得到了这一函数类中的一些有趣性质,如包含关系、卷积性质等.这些结果改进和拓展了早期的一些工作,同时也得到了其他一些新的结果.

亚纯函数;多叶函数;凸单叶函数;Hadamard乘积(或卷积);从属;线性算子

1 预备与引理

设Σp表示由形如

组成的在去心单位圆盘U0={z:0<|z|<1}内解析的函数类.一个函数f(z)∈Σp被称为是在类Σ*p(α)中,如果对某些α(α<1)满足条件

注意到对于0≤α<1,Σ*p(α)是α阶p叶亚纯星型函数类.同时,我们写Σ*1(α)=Σ*(α).

对于由(1.1)给出的f(z)∈Σp和g(z)∈Σp,这里

则f(z)和g(z)的Hadamard乘积(或卷积)定义为

这里c∉{0,-1,-2,…},(x)0=1,(x)n=x(x+1)…(x+n-1)(n∈ℕ).相应于函数φp(a,c;z),广义超几何函数

现在我们定义函数φp(a,c;z)为

这里l≤m+1,l,m∈ℕ0:=ℕ⋃{0},βj∉{0,-1,-2,…}(j=1,2,…,m).现在我们定义

近来,Liu和Srivastava[1]通过下列Hadamard乘积

定义了一类新的线性算子

这里f(z)∈Σp,l≤m+1,l,m∈N0,βj∉{0,-1,-2,…}(j=1,2,…,m).如果f(z)∈Σp由(1.1)给出,则从(1.3)和(1.4)我们有

lFm(α1,…,αl;β1,…,βm;z)被定义为下列级数:

为了使记号简便,我们引进

特别地,对于p=1,l=2,m=1和α1=a,α2=1,β1=c∉{0,-1,-2,…},我们得到线性算子

这是由Liu和Srivastava[2]以及Yang[3]分别独立引进和研究的.

令P是由在U内凸单叶并且满足条件h(0)=1,Reh(z)>0(z∈U)的解析函数所组成的函数类.

设f(z)和g(z)在U内解析.如果存在一个在U内的解析函数w(z),使得

则称函数f(z)是在U内从属于g(z),记为f(z)≺g(z).进一步,如果g(z)在U内单叶,则

在整篇文章中,我们设

显然,对于k=1,我们有

关于k-对称点的亚纯(或解析)函数类已经被许多学者所研究(见文献[4-9]).

在本文中,使用线性算子Hl,mp(α1;β1)和两个解析函数间的从属,我们引进和研究了下列Σp中的子类:

定义函数f(z)∈Σp如果满足条件

导致函数类Σp,k(a,c;h),这是最早由Srivastava,Yang和Xu(见文献[5])引进和研究的.有关亚纯函数的研究

还可参见文献[1-3,10-19]等.

为了导出我们的结果,需要下列引理.

在本文中,我们的目标是给出函数类Σl,mp,k(α1;β1;h)中的包含关系,卷积性质及其他一些新的结果.我们的结果改进和扩展了一些早期的结论.

2 卷积性质

定理1设h(z)∈P,α<1且满足

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A Class of Meromorphically Multivalent Functions Involving a Linear Operator

XU Neng
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

meromorphic functions;multivalent functions;convex univalent functions;linear operator;convolu⁃tion;k-symmetric points;subordination

O174.5

A

1008-2794(2011)08-0001-09

2011-05-19

国家自然科学基金(10871094)资助项目.

徐能(1961—),男,江苏常熟人,常熟理工学院数学与统计学院教授,研究方向:函数论.

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