Kalman滤波在Yule-Walker谱估计中的应用

侯杰虎

（成都理工大学信息工程学院，四川成都610000）

1.引言

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号，将其广泛用于民用通信和军事通信中。现代谱估计主要是针对经典谱估计的分辨率差和方差性能不好的问题而提出的。现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种[1]，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等；后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。

在信号的传输过程中，会不可避免地存在着各种噪声干扰，这些噪声将对我们的功率谱估计的分析结果产生直接的影响。目前，常用的噪声去除方法有小波去噪、中值或均值滤波、傅里叶变换滤波等，但是上述方法都存在着一定的缺陷，如稳定性较差，去噪能力有限或者不能很好地解决尖刺问题。针对此现象，信号学家D.Evensen首次提出将kalman滤波应用到信号处理中[2]。

本文主要讨论在平稳随机过程中用自相关法估计AR模型参数，进而实现功率谱估计的Yule-Walker算法进行加入kalman滤波的改进，从而达到减小谱估计误差，提高计算结果的稳定性。

2.Yule-Walker谱估计算法

参数不随时间变化的系统称为时不变系统。相当多的平稳随机过程都可以通过用白色噪声激励一线性时不变系统产生[3]，而线性系统又可以用线性差分方程进行描述，这种差分模型就是自回归－滑动平均（ARMA）模型。设平稳随机序列x(n)(n=0，1…，N-1)的AR(p)模型为

其中a(i)(i=1，2，…，p)是AR系数，w(n)是均值为零、方差σ2为的白噪声。

Yule-Walker方程的举证表达式如下：

其中Rxx(m)是相关系数，｛a(1),a(2),…，a(p)｝是AR(p)模型的系数，σ2是预测误差功率[4]。

在信号序列x(n)的(p+1)个自相关函数值Rxx(0)，Rxx(1)，…，Rxx(k)已知的情况下，通过莱文森-德宾算法经过阶次递推，可依次计算出{a1(1),σ1}，{a2(1),a2(2),σ2}，…，{ap(1),ap(2)，…，ap(p)σp}其中AR模型参量都加了下标以表明阶数，阶数为p的最后那组参量就是方程的解，具体算法如下：

最后通过计算得到p阶预测误差滤波器的系数{a(1),a(2),…,a(p)}和相应的预测误差σ2，再利用公式

求得x(n)的功率谱估计。如果我们已知的是x(n)的N个值{x(0)，x(1)，…，x(N-1)}，而不是x(n)的(p+1)个自相关函数值。为了用Yule-Walker方程求得AR(p)模型的系数和相应的预测误差σ2，我们必须首先按式（9）计算x(n)的自相关函数值，最后再进行谱估计。

3.谱估计中kalman滤波器的设计

kalman滤波算法是一个从观测变量得到最优状态估计和状态观测的最优化自回归数据处理算法，对于解决很大部分的问题，是最优、效率最高甚至是最有用的[5]。其基本思路如下：首先建立随机动态变量随时间变化的先验模型，然后通过观测得到观测变量，利用卡尔曼方程组获得目标状态基于全局信息的的最优估计值。这样估计的实际意义为：对于一输入未知的体系，可根据观测输出Z(k)、体系特征和统计性质来最佳地估计输入X(k)。正是因为kalman滤波器具有自适应特性以及预测和校正功能，使其在计算中对观测数据和噪声无过多具体要求，具有较强的容错能力。

首先，引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机差分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：

再加上系统的测量值：

上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声，并假设为高斯白噪声(White Gaussian Noise)，其协方差分别是Q，R（这里设W(k)和V(k)不随系统状态变化而变化且相互独立）。

本文将通过莱文森-德宾算法得到的AR(p)模型系数作为滤波器的最初状态值X(k)，高斯白噪声作为观测噪声，并通过随机序列x(n)和Yule-Walker方程得到的观测值Z(k)，对式（10），（11）进行kalman滤波得到状态预测方程：

预测状态下的协方差方程

滤波器增益方程

状态最优化估计方程

状态最优化估计的协方差方程

最终，本文通过上述式（10）～（16）以及已知的AR(p)模型系数、高斯白噪声、观测值、kalman滤波迭代运算中不断被更新的增益值计算得到X(k)的最优估计值，以得到的最优AR模型系数来进行谱估计，达到降低由于在谱估计中平稳随机序列数量问题而引起的误差的目的。

4.实验结果分析

没有经过kalman滤波器的Yule-Walker功率谱估计结果如图1所示，在相同条件下，在Yule-Walker功率谱估计中引入kalman滤波器的结果如图2所示。可以看出，图1中真实值与估计值相差较大，而在图2中真实值与估计值的差异较图1有所减小。为了直观度量真实值与估计值的误差，本文通过公式

来计算两种方法的功率谱误差协方差。其中Perr为系统响应的谱估计误差，Pest为谱估计值，Ptrue为真实值，σerr为谱估计误差Perr的协方差。

无kalman滤波器的功率谱误差协方差σerr=1.5285，加入kalman滤波器的功率谱误差协方差σerr=1.0059，可见加入kalman滤波器后提高了谱估计的精度和稳定性。

图1 功率谱估计值与真实值的比较

图2 加入kalman滤波器的功率谱估计值与真实值的比较

5.结束语

Yule-Walker功率谱估计算法之所以有一定的误差与其平稳随机序列x(n)中的n值和生成随机序列时的噪声有关，n值越大，其误差越小，但当n值增大到一定程度后，误差不再减小。而kalman滤波器通过其不断的预测和修正，努力使最后的估计值达到最优化。相对受白噪声的影响大大减小，增加了计算结果的稳定性，且kalman滤波器的自适应特性使其具有较强的容错能力，能提高计算的精度。因此kalman滤波器在对于信号处理中的谱估计会有很好的应用前景。

[1] 李英民，董银峰，赖明.地震动瞬时谱估计的Unscented Kalman滤波方法[J].应用数学和力学，2007:1370-1377.

[2] BUEHNER M，GAUTHIER P，LIU Z.Evalution of new estimates of background and observation error co-variances for variational assin ilation[J].Quart J Roy Meteor Soc，2006:3373-3383.

[3] 张贤达.现代信号处理(第二版)[M].清华大学出版社，2002.

[4] 吴顺君.近代谱估计方法[M].西安电子科技大学出版社，1994.

[5] MOHINDER S.GREWAL，ANGUS P.ANDREWS.Kalman Filtering:Theory and Practice[M].A Wiley-Interscience Publication，2001.