橡胶－金属环疲劳寿命预测

张平豪，吴新跃，李琦

（海军工程大学机械工程系，湖北武汉 430033）

0 引言

橡胶－金属环由2只钢制轮毂组成，它们之间采用经硫化的高强度橡胶块粘结。粘结界面由于是2种不同力学性能材料的结合，因此构件在承载时界面容易产生应力集中，故而大多数破坏都发生在界面，对界面应力分布以及断裂参数的模拟对于橡胶－金属环疲劳寿命的预测具有重要意义。

橡胶断裂是由材料内部或表面事先已经存在或引入的微小缺陷引发的，在载荷作用下裂纹最初扩展很慢，直到其中的1个或多个达到足够大的尺寸成为可见裂纹，继而使总的断裂发生。因此，橡胶的裂纹扩展特性是决定它的强度的主要因素，橡胶的疲劳寿命主要是指裂纹扩展寿命。Rivlin和Thomas［1］指出疲劳裂纹扩展速率与撕裂能关系是材料属性，与载荷方式、试件形状无关，故而研究结果具有普遍意义。

1 求解方法理论

用断裂力学法预测疲劳裂纹扩展寿命一般需要2个关系式，一是裂纹扩展速率与撕裂能之间的关系，二是撕裂能与裂纹尺寸之间的关系。

橡胶的裂纹扩展速率与撕裂能之间的关系［2］为:

式中:dc/dn为疲劳裂纹扩展速率，即每一应力应变循环裂纹增长的长度;A，B，β，T0，Ta，TC为由试验测得的材料常数，取决于橡胶种类、试验条件等因素;rz为臭氧引发的裂纹扩展率。由式（1）可见，当撕裂能小于疲劳破坏的“门槛值”T0时，裂纹增长速率与撕裂能无关，扩展只与臭氧侵蚀有关，疲劳裂纹扩展速率与撕裂能函数关系（见式（1）中第1式）;当刚刚超过“门槛值”T0时，机械疲劳裂纹扩展速率与撕裂能之间满足线性关系（见式（1）中第2式）;当撕裂能处于工程疲劳寿命区域时，疲劳裂纹扩展速率与撕裂能之间存在幂函数关系（见式（1）中第3式）;当撕裂能大于TC时意味着裂纹扩展速率无穷大，材料将迅速破坏（见式（1）中第3式）。

撕裂能与裂纹尺寸之间的关系为:

式中:U为橡胶弹性应变能;A为裂纹断裂表面的面积。将式（2）得到的撕裂能与裂纹尺寸之间的关系代入裂纹扩展速率与撕裂能的关系式（1）中，在初始缺陷尺寸c0和最终破坏尺寸cf之间求积分，即可预测弹性体在工程疲劳寿命区域的疲劳寿命。

对于简单的试件，如简单拉伸试件，纯剪试件，裤型试件和角型试件，文献中已有撕裂能与裂纹尺寸的关系式，对于较复杂的几何形状的结构只有通过有限元方法得到撕裂能与裂纹尺寸的关系式。本文通过非线性有限元分析软件Abaqus，对橡胶－金属环界面出现裂纹时的撕裂能与裂纹尺寸的关系进行了研究，对橡胶－金属环疲劳寿命的预测起到重要作用。

2 橡胶－金属环断裂问题的非线性有限元

截止到目前，对于橡胶钢界面裂纹的研究多为平面结合的情况［3－4］，对曲面粘结界面裂纹的分析较少且主要考虑在轴向载荷下的变形以及可能出现的裂纹［5］，而通常认为橡胶在径向的压缩和拉伸，提供较大的刚度，部件更加稳定，裂纹产生的研究较少。本文研究的橡胶－金属环的工作环境主要是传递扭矩、补偿对中，对径向载荷导致裂纹产生的影响是研究的重点。由于内钢制轮毂与橡胶硫化的界面比外钢制轮毂的界面更易产生应力集中，故而本文讨论的对象为橡胶－金属环内径界面处的裂纹。

2.1 有限元模型

橡胶－金属环的结构和轴向载荷使得轴对称单元可以应用到仿真中，为了不影响径向载荷的施加及后结果的处理，结构1/2网格的选取沿径向载荷施加的坐标轴方向对称，如图1（b）为x轴。考虑材料几何大变形给界面裂纹带来的影响，选择相对简单的且能表示大变形能力的Mooney-Rivlin本构模型来模拟橡胶材料，通过硬度实验确定所用橡胶邵氏硬度HA为66°，拟合出材料常数C10为0.6182，C01为0.1546。钢制轮毂的弹性模量为2.1×1011N/m2，泊松比0.3。在橡胶和金属界面采用Tie绑定约束模拟界面的硫化粘合，裂纹的设置通过取消裂纹处界面上的约束耦合点进行，取消1个耦合点即模拟1个网格尺寸长度的裂纹。取消耦合约束的同时，在相应单元间设置接触约束，在此认为是理想接触，摩擦系数设为0。通过在ABAQUS中分析橡胶－金属环的径向刚度［6］，并与试验结果对比，分析得出单元尺寸为4 mm时已经足够精确，但为了分析裂纹扩展的各种尺寸变化情况，这里采用2 mm单元尺寸来分析。根据橡胶－金属环轴向许用位移±2 mm，径向许用位移（动态）1.5 mm，分别在轴向施加2 mm位移，径向施加1.5 mm位移。

图1 橡胶－金属环与有限元模型Fig．1Rubber-steel ring and FE model

2.2 界面应力分布

2.2.1 无裂纹时界面应力分布

无裂纹时的界面应力分析，可以对最可能产生裂纹的位置进行初步预测。

橡胶－金属环承受径向1.5 mm位移载荷时，拉压端均可能产生裂纹，同时从最大拉应力处到最大压应力处的沿圆周界面上也可能产生裂纹。下面分别讨论以上3种情况的应力及应变能密度分布。

1）橡胶被拉伸端

图2为橡胶－金属环受1.5 mm径向位移时的受拉端无裂纹界面处正应力分布，图3为界面上剪应力分布，图4为界面上应变能密度分布。

2）橡胶受挤压端

图5为橡胶－金属环受1.5 mm径向位移时的受压端无裂纹界面处正应力的分布，图6为界面上剪应力的分布，图7为界面上应变能密度的分布。

3）沿圆周方向

图8 界面正应力分布Fig.8Interfacial normal stresses

建立有限元模型时，为了不影响径向载荷的施加及后结果的处理，采用结构的沿径向载荷施加的坐标轴（图1（b）x轴）方向对称1/2的网格。分析沿圆周方向上的应力及应变能密度时，也只取模型对称的一半。图8和图9分别为从最大拉应力处到最大压应力处的沿圆周界面上的应力分布和应变能密度分布。

图9 界面上应变能密度分布Fig．9Distribution of strain energy density

由图2和图5可知，中间的界面上应力接近于恒定值2.5 MPa，在橡胶－金属环界面轴向的2个端点处因为边缘效应和应力集中使得的应力值达到最大为3.25 MPa。图3和图6给出的界面上剪应力变化曲线表明，轴向的2个端点处的剪应力最大达1.2 MPa，向中间递减到中心位置剪应力为0，正负号表明2个端点的剪应力方向相反。图4和图7所反映的最大拉应变处和最大应变处的应变能密度值在对应节点上是相等的，且最大值出现在应力值最大的节点上。图8显示出应力值由大到小的变化过程，是橡胶－金属环上由拉应力转变为压应力的过程。不难看出，沿圆周应力值最大的位置处于拉压应变最大处，也就是图2和图5中应力值最大的节点为整个橡胶－金属环应力值最大位置。图9显示出应变能密度最大的地方也就在应力值最大的地方，即应力集中的位置应变能密度最大，最可能产生裂纹。

由上述分析可知，橡胶－金属环在承受1.5 mm位移的径向载荷时，沿载荷施加方向的2个应变极限位置的轴向2个端点位置处出现应力集中现象，这4个位置的应变能密度最大，最易产生裂纹。

2.2.2 含裂纹时界面应力分布

由上节无裂纹界面应力分布情况看出橡胶－金属环在承受径向载荷时，最大拉压应变处均有产生裂纹的可能。本节通过不同部位出现裂纹时的应力、应变能密度分布的变化情况对照无裂纹的应力、应变能密度分布进一步确定裂纹最可能产生的部位。

1）橡胶被拉伸端

图10为橡胶－金属环受1.5 mm径向位移时的受拉端界面处顶端沿轴向10 mm裂纹时正应力的分布，图11为界面上剪应力的分布，图12为界面上应变能密度的分布。

图12 界面上应变能密度分布Fig．12Distribution of strain energy density

图10表明由于沿轴向裂纹的存在，橡胶－金属环被拉伸端界面处的正应力分布发生了显著的变化，主要表现在10 mm裂纹面上的正应力基本上接近于0，除了轴向最外端和裂纹尖端处。轴向最外端的正应力值达到反向最大值，是因为当裂纹处的橡胶由于拉力脱离金属表面时受到附近橡胶的挤压，使得局部的正应力转化为压力，裂纹处橡胶的约束减少向界面外端挤压，造成了轴向最外端正应力值达到反向最大值。而裂纹尖端处存在应力集中，使得该处的正应力出现急剧变化。裂纹为扩展到的界面上的正应力分布与图2相应点相似，同样在最外端存在应力集中现象。从图11所示的裂纹界面剪应力分布情况可以看出，裂纹面上的剪应力为0，没有裂纹的界面上剪应力分布情况与不含裂纹的界面上的剪应力分布情况相似。图12所示的裂纹面最外端应变能密度比无裂纹时增大了0.1 mJ/mm3，是由于局部应力集中导致;其后裂纹面的应变能密度降低了0.02 mJ/mm3，表明裂纹的产生释放了部分应变能，裂纹尖端处的应变能密度与无裂纹面的应变能密度值不存在明显跳动，裂纹尖端的撕裂能将非常之低。

通过以上分析，并结合图12（a）应变能密度沿圆周方向比轴向存在更明显的变化，特别是轴向裂纹尖端处的应变能密度尚且不如裂纹最外端沿圆周方向撕裂处的应变能密度值高，可以断定裂纹的圆周方向扩展较之轴向扩展更具有可能性。

图13即为裂纹出现在最大拉伸界面顶端沿圆周方向扩展的正应力的分布，这里讨论的裂纹尺寸仍以10 mm为例，图14为界面上应变能密度的分布。

相对于图8无裂纹时的界面正应力分布，图13表现出急剧的应力变化，裂纹面正应力出现1个小的峰值，是由于局部橡胶间的挤压造成。相对于图10裂纹出现在轴向位置，圆周方向裂纹尖端的应力集中现象更明显，而图14裂纹面应变能密度的急剧变化，特别是裂纹尖端应变能密度值仍很大。对比图12再一次表明在橡胶－金属环被拉伸端的圆周方向的裂纹较之轴向裂纹更容易发生扩展，并导致橡胶－金属环的局部断裂、失效。

2）橡胶受挤压端

橡胶－金属环被挤压端的分析同受拉伸端一样，沿轴向扩展时只是裂纹面上正应力值相对较低，应力集中现象不明显，裂纹尖端处的应变能密度与无裂纹面的应变能密度值不存在明显跳动，裂纹尖端出现扩展的可能性较低。沿圆周方向扩展时，裂纹处剧烈的应力集中使得此处应变能密度急剧增大，橡胶－金属环受压端在出现裂纹时，应变能密度反而增大，这与裂纹的产生消耗撕裂能释放应变能致使局部应变能密度应该降低是相违背的。故而裂纹也不可能从此处引发。

3 撕裂能的计算

由上节界面上应力、应变能密度计算结果，根据橡胶的撕裂能计算公式得到橡胶－金属环受拉伸端的撕裂能随裂纹尺寸变化的规律曲线如图24所示。上半段为裂纹沿圆周方向扩展时的撕裂能变化，下半段为裂纹沿轴向扩展时的撕裂能变化。从图中可以看出裂纹沿轴向扩展时撕裂能逐渐降低，这种情况表明除非沿轴向预先存在缺陷，否则裂纹是不会扩展的。况且当裂纹扩展到8 mm时达到负值，故而裂纹在橡胶－金属环受拉伸端的扩展不可能沿轴向进行。下半段裂纹沿圆周方向扩展时的撕裂能首先迅速上升，裂纹扩展很快。当裂纹继续扩展，逐渐离开径向最大位移点时，界面处的正应力及剪应力逐渐下降，应力集中的影响也迅速降低，撕裂能变化变缓进而趋向1个常值0.13 mJ/mm2。

橡胶－金属环被挤压端假设裂纹长2 mm时，沿轴向及沿圆周方向扩展时的撕裂能为－0.06814 mJ/mm2，除非被挤压端预先存在缺陷，否则裂纹是不会扩展的，故而裂纹在橡胶－金属环被挤压端不可能扩展。

图15 界面上撕裂能随裂纹尺寸的变化Fig．15Relationship between tearing energy and crack length

4 结语

本文对橡胶－金属环在径向位移载荷作用下的界面裂纹进行模拟，得到撕裂能与裂纹尺寸的关系。用非线性有限元法分析了橡胶－金属环在径向位移载荷作用下的界面裂纹，分别研究了裂纹从被挤压端沿轴向、圆周方向和被拉伸端沿轴向、圆周方向界面处扩展的情况，对于这4种情况撕裂能随裂纹尺寸的变化是不同的。被挤压端无论是沿轴向还是沿圆周方向扩展，应变能密度函数都是逐渐增加，撕裂能为负值，故而在被挤压端不可能出现裂纹扩展。在被拉伸端，沿轴向扩展存在一定可能性，通过撕裂能与裂纹尺寸关系的分析，裂纹扩展最可能还是沿着圆周方向。裂纹扩展是从应力集中处引发，在引发裂纹初始，非线性分析表明裂纹的撕裂能是先增加后逐渐趋向一个常值。

［1］RIVLIN R S，THOMASAG．Ruptureofrubber．I．Characteristic energy for tearing［J］．Journal of Polymer Science，1953，（10）:291-318．

［2］CROSCH K．Rolling resistance and fatigue life of tires［J］．Rubber Chemistry and Technology，1988，61:42－43．

［3］LINDLEY P B，TEO S C．Energy for crack growth at the bonds of rubber springs［J］．Plastics and Rubber:Materials and Applications，1979，4（1）:29－37．

［4］WANG S S，YAU J F．Interfacecrcksinadhesively bounded lap shear joints［J］．Fracture，1982，19（4）:295－309．

［5］GENT A N，WANG C．Strainenergyreleaseratesfor crack growth in an elastic cylinder subjected to axial shear［J］．Rubber Chemistry and Technology，1993，66:712－732．

［6］石亦平，周玉蓉．ABAQUS有限元分析实例详解［M］．北京:机械工业出版社，2006．

SHI Yi-ping，ZHOUYu-rong．ABAQUSfiniteelement analysis example［M］．Beijing:Machinery Industry Press，2006．