数学教学中的扩散思维和收敛思维

任学伟

数学教学中的扩散思维和收敛思维

任学伟

《基础教育课程改革纲要（试行）》要求教师在数学教学中注重培养学生创新能力。而在各种创新能力培养的同时，笔者认为教师在数学教学中首先应了解学生的扩散思维和收敛思维。

1 扩散思维和收敛思维的特点

数学教学中的扩散思维是指教师提出一个问题，要引导学生围绕问题沿着多个方向思考，产生出尽可能多的种种设想和结论的一种思维方式。而收敛思维是指以某个数学问题为中心，运用多种方法、知识或手段，从不同方向或不同角度，将思维指向中心点，经过比较、分析后，找到一个合理地解决数学问题的答案的一种思维方式。

1.1 扩散思维的特点

1）思维的流畅性，指在单位时间内产生设想和答案的多少，是学生思维对问题刺激做出反应的能力，它是以思维的量来衡量的。

2）思维的变通性，是指提出设想或答案在方向上所表现出的灵活程度，也是指数学思路是否开阔，是否善于根据问题的题意思维灵活跳动来解决问题。

3）思维的独特性，是指提出设想或答案的新颖性程度，是在学生独立思考、大胆怀疑、不迷信权威的前提下，以前所未有的新角度、新观点去认识事物，提出不为一般人所有的寻常的结论。

1.2 收敛思维的特点

1）思维的聚焦性，指对于数学问题学生提出不论多少种设想和答案，最终都要把思维集中在这个问题的中心上，要明确自己所解决问题的目标是什么。

2）思维的程序性，是指对要解决的数学问题各个要素进行分析、比较、排除和选择。通过许许多多零星的、分散的或局部的、表面的信息内容，进行去粗取精，去伪存真。

2 扩散思维和收敛思维的关系

2.1 思维方向相反和思维过程分离

扩散思维和收敛思维的方向相反，一个是问题的中心指向四面八方，最恰当的比喻是太阳向周围四射的光线；一个是由周围的许许多多问题归向中心问题，就像磁铁指向磁场中心一样。扩散思维和收敛思维之间必须在时间上分开，即分阶段表达。如果不分时间混在一起表达，就会大大降低思维的效率，甚至会形成思维混乱和形成错误。因此，运用迟延判断的技巧是扩散思维和收敛思维的关键。这就是说，两种思维方式的运用和表达在时间上要有个间隔，否则就会相互抵消。

例如数学问题：“已知：平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，请说明四边形EBFD是平行四边形。”对于这个问题，教师首先要引导学生根据题意“四边形是平行四边形”展开思维的扩散，尽可能多地得到平行四边形的相应性质。第二步，教师就要引导学生分析解决问题的方法有什么，就是满足怎样的条件才能判定四边形EBFD是平行四边形。然而，平行四边形的判定方法有4个：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。有了这些结论，哪一个才是解决问题的关键呢？第三步，教师再次引导学生进行分析、排除和选择，因为题中提到平行四边形ABCD的对角线，就要留意平行四边形的对角线，进而从平行四边形的对角线上得出两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。通过扩散到收敛这一相反过程，问题得以解决。

2.2 思维方向和过程的互补

德国心理学家海纳特曾说过：“发散思维只有和辐合思维综合起来才能实现基础，对社会有益。”这充分体现了扩散思维和收敛思维在思维方向上和思维过程中的互补，是创造性解决问题所必需的。在认识解决问题的早期，扩散思维会起到重要作用；而在后期，收敛思维则扮演着更为重要的角色。

在发现问题阶段，思维发散和收敛的倾向，经常要发生多次转化。创新者在广泛搜集、捕捉发现目标时，他的思维又是集中于一点，即处于收敛状态。在确定问题阶段，解题者围绕这一点，广泛收集资料，这又是扩散；从大量信息中最后确定问题到底是什么，这又是收敛。在解决问题阶段，提出尽可能多的设想和结论，这是扩散；然后综合各种设想，拿出一个自认为最好的设想，这又是收敛。

3 扩散思维和收敛思维在数学教学中注意的问题

3.1 教师要给学生自由的空间

扩散思维是让学生尽可能多地提出设想和结论，而要做到这一点，教师就要给学生提供一个任学生思考、想象的空间，对学生提出的结论不论是对是错，不要加以对错的评价，给学生的只是鼓励和赞扬，不要限制学生的思维，要让学生自愿、自动地思考，愉悦地回答问题。

3.2 对学生的思维，教师要及时提供正确的引导方向

给学生自由思考、想象的空间，并不是让学生天马行空，为所欲为，而是要有目标性。这就要求教师对学生的思维及时给予正确的引导，指明思维的方向。在运用收敛思维时，教师及时点明解决问题的焦点，让学生能尽快回到解决问题、寻找答案上来。

10.3969 /j.issn.1671-489X.2011.10.122

（作者单位：河北省乐亭县闫各庄初级中学）