又见含参题 分离较简洁——2011年浙江省数学高考理科压轴题评析

●施克满 (乐清中学 浙江乐清 325600)

又见含参题 分离较简洁
——2011年浙江省数学高考理科压轴题评析

●施克满 (乐清中学 浙江乐清 325600)

2011年浙江省数学高考理科试题第22题:

设函数 f(x)=(x－a)2lnx，a∈R．

(1)若x=e为y=f(x)的极值点，求实数a;

(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0，3e］，恒有 f(x)≤4e2成立(e为自然常数)．

命题目的本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用、不等式等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等分析问题和解决问题的能力．

笔者用分离参数法给出了不同于参考答案的另解．

解(1)略．

(2)①当0＜x≤1时，lnx≤0，对于任意的实数a，恒有

又由x0＞1，注意到函数x2ln3x在［1，+∞)内单调递增，得 1＜x0≤e．这里的“函数 x2ln3x在［1，+∞)内单调递增”是命题者的一种太过简单的写法，实际上也是要说明的;同样“函数2xlnx+x在(1，+∞)内单调递增”也一样需要说明．

总之，命题者所给出的参考解答对学生的实际情况考虑比较少．从高考阅卷的情况看，考生的解答与参考解答类似的很少．

(2)对于只有一个参变量的问题，高中数学教学中通常强调的一种通法就是分离参数法．这样做的好处是将问题转化为求某一个无参函数的最值问题，进而求解．

具体到本题，当1＜x≤3e时，可先将a分离出来，即

这种解答过程“一气呵成”，也是学生最自然的想法和最自然的表达．从2011年浙江省数学高考阅卷的情况看，这种解法也是最多的．

(3)高考答题的一个显著特点是时间的限定性，也就是在规定的120分钟内要完成22个问题的解答．根据罗增儒教授的统计，一套数学高考试卷通常控制在2 000个左右的印刷符号，若以每分钟阅读300～400个印刷符号的速度审题，约需5～7分钟，考虑到有的题目要反复阅读，实际需要12分钟;书写主要用于解答题，约3 000个印刷符号，也就是说，看清题目后直接抄标准答案都需要40分钟，留给思考、草算、文字组织和复查检验的时间只有80分钟，平均到每一道题，保证不了3分钟［1］．我们知道能进行压轴题解答的学生通常是数学能力比较好的学生，他们采用的通常做法应该也就是他们平时用的最熟悉的方法，对于这个问题而言就是分离参数法．这一点也恰恰是中学数学新课程中强调问题的通性通法，在实际教学中注重问题的解决要从问题的本质入手．

(4)美籍匈牙利数学家、数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出，解题分4个步骤:第一，理解题目;第二，拟订方案;第三，执行方案;第四，回顾［2］．从中可以非常清楚地看到解题反思是完整解题的一个必不可少的过程．荷兰籍国际数学教育大师弗赖登塔尔认为“反思是数学活动的核心和动力”，“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”［3］．通过解题反思可以很好地提高学生的数学意识，优化学生的思维品质，沟通各知识之间的联系，促进知识之间的同化，形成完整的知识网络．

通过本题的解答，我们看到浙江省这5年(2007－2011年)的高考函数解答题是一脉相承的，重点都在考查函数极值、导数运算、导数应用、函数的单调性、不等式等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想等基本思想方法．并且这5年的函数问题都是含有参数的，对于参数的处理方法也是不一样的，可以是分离参数法，也可能是包含在函数中一起讨论，至于采用什么处理方法需视具体问题而定．同时还发现在其他省市的高考中也广泛采用这样一种含参的形式来进行函数问题的命题，这一点也是教学中值得我们重视的．

结语高考数学试题的参考解答不仅仅是高考评分的主要标准，同时也应成为数学问题解答的典范，对高中数学教学有重要的导向作用，即高考试题的参考解答应该充分体现课程改革的精神和理念．我们通过对问题的分析发现不同解法之间的差别，而高考是有严格的时间规定的，因而拿到问题后要迅速解决“从何处入手”、“向何方前进”这2个基本问题．因此根据新课程的要求，应始终坚持对通性通法的研究，并且强调解题的反思，不断提升学生的学习水平和解决问题的能力．

［1］ 罗增儒．高考临场20招［J］．中学数学教学参考，2011(3):50-58．

［2］ 波利亚．怎样解题［M］．涂泓，冯承天，译．上海:上海科技教育出版社，2002．

［3］ 弗赖登塔尔．作为教育任务的数学［M］．上海:上海教育出版社，1995．