微元法在修正几何光学命题中的应用

余红岩

(衢州市龙游第二高级中学 浙江 衢州 324400)

解决物理问题，关键是物理方法和数学方法的有机结合，物理方法突出发散思维，数学方法突出抽象思维.微元法是物理学中常用的一种方法，既体现了物理思维，又体现了数学思维，可以解决物理学中常见的错误命题.

学习了折射定律后，有这样一道题，用微元法解之，会发现命题的缺陷.

原题：如图1所示，光从空气射向上下表面平行的玻璃砖时，入射角为i，经折射从下表面射出.设玻璃砖的折射率为n,厚度为h,发生的侧移为D.试证明入射角i越大，侧移D越大.

图1

参考解答：设在第一界面，光在玻璃砖中的折射角为r,由折射定律有

(1)

由数学知识可知

(2)

(3)

(4)

sin(i-r)=(sinicosr-sinrcosi)

(5)

综合(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式得

(6)

由(6)式可知，当入射角i增大，侧移D增大.

对(6)式，单从解答上来说，无可非议.但是我们仔细分析时，却发现了问题.

微元法解答：

由(1)式可知

sini=nsinr

等式两边微分有

d(sini)=nd(sinr)

即有

cosidi=ncosrdr

由n>1,i>r,cosr>cosi可得

di>dr

与(3)、(4)对比，列式可知

(7)

(8)

(9)

(10)

di>dr

(11)

由于

cos(r1+dr)

代入式(7)、(9)两式，故得

(12)

又因

di>dr

故有

sin[(i1-r1)+(di-dr)]>sin(i1-r1)

(13)

综合(8)、(10)、(12)、(13)式得

D1

即当入射角i增大，侧移D增大.

笔者认为在中学物理阶段，不涉及高等数学知的前提下求解，原命题应作以下修改：

如图1所示，光从空气射向上、下表面平行的玻璃砖上，入射角为i，经折射最终从下表面射出，设玻璃砖的折射率为n,厚度为h,发生的侧移为D，己知n2≫sin2i，试证明入射角为i越大，侧移D越大.

参考文献

1 刘大华.小量分析在中学物理中的应用.物理教学,2008 (2) : 39