多元微分学教学与可视化

陈誌敏

(武汉软件工程职业学院,湖北武汉 430205)

高职教育除了增强学生的职业能力以外还应该注意学生可持续发展能力的培养。高等数学就是这样一门很重要的基础课程,除了为学习各种后继课程和现代科技知识提供必要的数学工具外,也是对学生的数学思想,数学方法,数学素质进行综合培养的一门关键课程。

由于计算机和网络技术的飞速发展,促进了现代教育技术不断发展,也对经典的数学课程的教学产生影响。探索一种以计算机为辅助教学工具展开高数教学的教学模式正受到国内外同行的普遍关注,并已成为一种发展趋势,我们通过对数学软件MA THEMA TICA的图像功能的拓展,并在多元微分学教学中加以应用,其中将抽象、枯燥的数学概念可视化[1],就是所获成果的一部分。

一、数学软件的拓展

在MA THEMA TICA系统中,绘制二元函数图形可用作图函数Plot3D、ListPlot3D、Parametric-Plot3D、ContourPlot3D、SurfaceOfRevolution、InequalityPlot3D、Imp licitPlot3D 、SphericalDarw3D、D raw ingMaste等,但这些命令[2]只能作部分常规的三维图形。对于某些特殊的图形,比如具有不连续点的二元函数图形,则需对该软件进行拓展,编写特殊的函数程序从而获得支持。下面就是在多元微积分教学中,将抽象、枯燥的数学概念可视化的两个自编小程序,用时可适当调整参数。

程序1. g[x_,y_]=__________;

Parametricp lot3D[{r＊ Cos[ϑ],r＊ Sin[ϑ],g[r＊ Cos[ϑ],r＊ Sin[ϑ]]},{r,0.001,1},

{ϑ,0,2Pi},PlotPoints→{2,100},Ticks→None,View Point→{1.396,-2.705,1.479},

ColorOutput→GrayLevel,BoxRatios→{2,2,1}]

程序 2. Needs["D raw Graph ics′Draw ingMaster′"];

Clear[f]; f[x_,y_]:=__________;

Plot3D[f[x,y],{x,-10,10},{y,-10,10],PlotPoints→25,BoxRatios→{1,1,1},

Axes→True,PlotRange→{0,1.5},ImageSize→500]

在MA THEMA TICA平台上调用上述作图函数程序,当输入二元函数z=f(x,y)的表达式,即可生成该函数的三维图形,使原来不容易画或不能画的二元函数图形成为一幅幅栩栩如生的画面。并能制成大尺寸彩色图片、挂图、幻灯片或pp t课件,在教学中使用。

二、抽象概念的可视化

以下就是多元微分学中常见的几个抽象概念,经可视化后成为具体而又生动的例子。1.连通、内点、邻域

用程序2.生成 f(x,y)的图形(图1)。

由图1可见,虽然 D={(x,y)|x≠0,y≠0}不连通,但点 po=(1,2)是内点,所以 f(x,y)在领域U(po)内连续。由图1可对连通,内点,邻域等概念有了较直观的认识。

图1 连通、内点、邻域的直观图

图2 不同路径的极限值不完全相等

2.二重极限

用程序1,生成 f(x,y)的图形(图2)。

由图2可见,当点 (x,y)沿 x轴,y轴方向趋近于原点时,而当点(x,y)沿直线 y=kx(k≠0)趋近于原点时,所以当 (x,y)→(0,0)时,f(x,y)的极限不存在。

3.连续与间断

图3.生动清晰地构划出f(x,y)=1/(x2+y2)在点(0,0)处间断的状况,这种情形过去是很难用几何形式表达清楚的[3]。

4.偏导数与可微

由全微分的几何意义,曲面 z=f(x,y)在点 (xo,yo)的切平面是由两条分别以 fx(xo,yo),yy(xo,yo)为斜率的切线所决定的平面。而 dz|(xo,yo)=fx(xo,yo)dx+fy(xo,yo)dy

正是切平面上从点 (xo,yo)变到点 (xo+dx,yo+dy)时竖坐标z的改变量。若借助三维图形,使学生很容易理解掌握“可微”这个较难理解、抽象的数学概念。

如二元函数

用程序1生成 f(x,y)的图形(图4)。

图3 f(x,y)在点(0,0)间断情况

4 f(x,y)在点(0,0)处无切平面

由图4可见,f(x,y)从原点向外连续延拓,沿任一方向的导数都存在,但在该点不可微。因为该点沿各个方向的切线不在同一个平面内,所以在点(0,0)处没有切平面。

三、相互关系的可视化

由已知定理[4],数学概念“连续、可微、偏导数存在”有如下关系:

现举反例:

例1

在点(0,0)处偏导数存在;但在该点不可微。用程序1.生成 f(x,y)的图形(图5)。

由图5可见,在点(0,0)处 f(x,y)沿 x,y轴方向有两条以fx(0,0)=fy(0,0)=0为斜率的直线,即一阶偏导数存在;但该函数 f(x,y)在点(0,0)处无切平面,既在该点不可微。

例2

在点(0,0)可微,但一阶偏导数不连续。用程序2生成 f(x,y)的图形(图6)。

且沿任一方向的导数都存在相等,易知该点的切平面为z=0,所以f(x,y)在该点可微;而由函数 f(x,y)的一阶偏导函数

用程序2.生成的图形(图7).

图5 一阶偏导存在但不可微

图6 在点(0,0)处有切平面

图7 一阶偏导在点(0,0)处不连续

由图7可见,fx(x,y)在点(0,0)处不连续。因为(x,0) 不存在。

例3由第二节第2点,还可得到“偏导数存在并不一定连续”的反例。

由图2可见,f(x,y)在点(0,0)处,沿 x、y轴方向有两条以 fx(0,0)=0;fy(x,y)=0为斜率的直线,即一阶偏导数存在;而当 (x,y)→(0,0)时,f(x,y)的极限不存在,既 f(x,y)在点(0,0)不连续。

例4二元函数

由图4知 f(x,y)在点 (0,0)连续,但不可微。

四、结语

通过对数学软件MA THEMA TICA的图像功能的拓展,并在多元微分学教学中加以应用,其中将抽象、枯燥的数学概念可视化,使其十分形象具体,易于理解。既能克服传统数学教学模式的弊端,更有利于提高学生对学习的兴趣,提高学习数学的自觉性。这种新的教学手段的使用将更有利于培养学生对数学的兴趣和爱好,促进学生的各种思维能力得到发展,增强学生的职业能力以及可持续发展能力的培养,对当前高职课程的深入改革,基础课程如何更好服务于专业,具有非常积极的意义。

[1]陈誌敏.微分方程的Mathematica解法与可视化[J].天津职业院校联合学报2007,(05).

[2]斯蒂芬.沃尔夫雷姆著赫孝良,周义仓译.MA THEMA TICA全书[M].西安:西安交通大学出版社,2002.

[3]Heiko Feldmann.3D Plots Discontinuous Functions[J].Old MathSource# :0211-116,2000-03-29.

[4]陈誌敏.高等数学[M].上海:复旦大学出版社,2009.