基于二维小波模极大点的边缘检测算法

孙莉红，管庶安，江 峰，孔 岩，王晓花

(武汉工业学院数学与计算机学院，湖北武汉430023)

基于二维小波模极大点的边缘检测算法

孙莉红，管庶安，江 峰，孔 岩，王晓花

(武汉工业学院数学与计算机学院，湖北武汉430023)

研究利用二维小波变换的模极大与法向角来检测图像边缘的方法。与采用传统方法进行比较，本方法得到的边缘不仅较完整、对噪声不敏感，而且具有单像素宽度，定位精确。

小波变换;模极大;边缘检测

边缘检测是图像处理的重要基础，是后续图像识别和图像理解的前提［1］。图像的边缘广泛存在于物体与背景之间，物体与物体之间和基元与基元之间，是图像信息最集中的地方，包含着丰富的信息，它能够勾画出目标物体。

边缘是由灰度的不连续性所反映的，有方向和幅度两个特性。沿边缘切向的灰度变化较为平缓，而沿法向的灰度变化剧烈。这种变化可能呈现阶跃形或屋顶形。因此，边缘可以粗略地分为阶跃形边缘和屋顶形边缘两种。对于阶跃形边缘，一阶导数在边缘处达到极值，二阶导数在边缘处呈零交叉，对于屋顶形边缘，一阶导数在边缘处呈零交叉，而二阶导数在边缘处取极值。

常用的边缘检测方法有微分算子法。目前已有一系列基于微分的边缘检测算子，如Robert算子、Sobel算子、Prewitt算子等［2］，基于小波变换法和基于数学形态学法。数学形态学理论的边缘检测算法在噪声抑制方面有明显的优势，但是速度较慢。微分检测算子方法中，边缘检测算子参数的选择会直接影响到边缘定位的能力和噪声抑制的能力。噪声抑制能力和边缘保持性是评价边缘检测方法好坏的重要标准，小波变换可以很好地去除图像噪声，当取小波母函数为平滑函数的一阶导数时，信号的小波变化的模在信号的突变点处取局部极大值。并且随着尺度的增加，噪声引起的小波变换的模极大值迅速减小，而边缘对应的模极大值不随尺度变化，故小波具有较强的在低信噪比的信号中辨识噪声和边缘的能力［3］。

小波变换是近年来在图像处理中十分受重视的新技术，与傅里叶变换相比，小波变换由于其在高频时具有时间精度和低频时具有的频率精度，能自动适应时频信号分析的要求，可以聚焦到信号的任意细节等显著特点而越来越受到广泛的重视，小波被迅速应用到图像和语音分析等众多领域。

本文将利用小波变换与模极大点跟踪的方法进行边缘检测，并与传统的边缘检测方法如Sobel和Prewitt算子检测进行对比，讨论检测效果。

1 适用于边缘检测的二维小波变换

设 θ(x，y)是一低通平滑函数，令 ψ2(x，y)=称为小波基函数。其中上标1和2分别表示相对于x和y。

要求 ψ1(x，y)，ψ2(x，y)具有紧支特性，引入尺度参数 s，分别用 x/s、y/s代替 x、y，则 ψ1(x，y)、ψ2(x，y)记为

灰度图像f(x，y)的二维小波变换为

f(x，y)在(x，y)点的小波变换有模和幅角两个分量，分别记为：则沿法向方向上的模极大点为边缘点。

为了使小波变换适用于边缘检测，先要选择小波基函数为θ(x，y)，鉴于高斯函数的无限光滑性，选 θ(x，y) 为高斯函数求关于和的偏导数：

再引入尺度参数s，分别用x/s、y/s、代替x、y，上式记为：

选s=2，取σ约为17×17的矩形区域，计算得到(5)式和(6)式的模板值，分别记为wave1，wave2。

设原图像f(x，y)的尺寸为480×640(单位为像素，高 ×宽)，存放于二维数组 BYTE f［480］［640］中，则f［y］［x］的二维小波变换的离散表达式为：

对于边缘检测，变换后的结果用模和法向角的形式表示能更详尽地表示边缘信息。在实际程序中只需定义存放模和法向角的两个二维数组，两个分量只是计算中的周转变量。

经过计算，可以得出与原图像相对应的模M［y］［x］的图像。如图1 所示，(a)为原图像，(b)为模M［y］［x］的图象。由图1可见，图(b)较好地突出了边缘，白色越亮，对应的边缘越强烈。

图1 原图像与变换后模图像

2 由小波变换模极大精确定位边缘

设P点为M［y］［x］中的边缘上的点，P点对应的法向角为 Ap，则沿着 Ap方向，M［y］［x］取得极大值的点就是P点。将M［y］［x］中的所有符合这一条件的点搜索出来，就得到厚度为1个像素的边缘。在搜索边缘之前，先定义数组 BYTE D2［480］［640］，用于存放检测结果。若 D2［y］［x］=1，则(x，y)点为边缘点，否则 D2［y］［x］=0.定义存放(x，y)点的法向角的数组 A［480］［640］，用于在法向上搜索模极大点。定义边缘分割灵敏度阈值T，当模 M［y］［x］≥T 时，将(x，y)点作为边缘候选点，以便在候选点中进一步搜索有效边缘点。根据小波变换模极大搜索厚度为1像素的边缘的算法如下。

对于图像中的每一个像素点(x，y)，执行下面1到3的操作。

1.若M［y］［x］小于 T，则不对这个像素点的操作;否则，转2;

2.将A［y］［x］量化为图2所示的4个方向，编码为 d=0，1，2，3。

3.if(d==0且此像素点对应的模值大于其左右两边像素点的模值)D2［y］［x］=1。

else if(d= =1且此像素点对应的模值大于其右上、左下方像素点的模值)D2［y］［x］=1。

else if(d= =2且此像素点对应的模值大于其上下两边像素点的模值)D2［y］［x］=1。

else if(d= =3且此像素点对应的模值大于其左上、右下方像素点的模值)D2［y］［x］=1。

算法中，将法向角量化为8个区域，依次对应d=0，1，2，3……7，在 360°的范围内，每个区域占45°，－22到22 为 d=1 的区域，23°到67°对应 d=2的区域，依次类推。如图2所示。

图2 将A［y］［x］量化为8个方向

从图2中可以看出，d=0与d=4，d=1与d=5，d=2与d=6，d=3与d=7，分别在一个方向上，所以，程序中只需考虑 d=0，1，2，3 的情况。

算法中阈值T的选取很重要。T选取过大，噪声抑制效果很好，但是很多弱边缘也同时被滤除，细节丢失严重;T选取过小，图像中的细节多，弱边缘也保留了，但是将保留过多的无效边缘，所以全局阈值的设定不能较好地做到保留边缘和去除噪声的平衡［4］。在图像中找出人眼可以识别出来的最模糊的边缘点，取这些边缘点中的一个像素点进行(7)、(8)式的计算，得到模值M在400左右。边缘越清晰的点，模值越大，边缘越模糊的点，模值越小。经实验可得，取阈值T=400时提取边缘的效果是最佳的。图3是对同一幅图像分别采用本文方法、Prewitt算子、Sobel算子进行检测的结果。Prewitt算子方法简单，处理速度快［5］。Prewitt边缘检测考虑了8邻域内的像素，在一定程度上平滑了噪声，但由于采用了不连续的模板系数，很难兼顾边缘的完整性和单像素厚度，定位精度比较低。Sobel算子对Prewitt算子的模板系数做了一定的改进，在对噪声有一定的抑制能力的同时保留边缘细节［6］。但这种改进并未完全突破模板系数的不连续性，在难兼顾边缘的完整性和定位精度方面改进不大。而基于二维小波模极大点和法向角的边缘跟踪方法，不仅具有较强的抑制噪声能力，而且还较好的保留了弱边缘。

图3 三种边缘检测的结果

3 小结

通过上述试验结果及分析可以看出，文中给出的基于二维小波模极大点的边缘跟踪方法是检测出的图像边缘效果较好，由于小波变换具有良好的时频局域化特性和多尺度分析能力［7］，因此用小波分析的方法检测到的边缘比较完整，图像的轮廓清晰，且能较好地抑制噪声。但是对于不同的图像，最好要选定相应的阈值T，以获得最强的抗噪声能力和最佳的弱边缘保留能力。

［1］ 宋莹，陈科，林江莉，等.基于图像分块的边缘检测算法［J］.图形图像处理，2010(7).

［2］ VanderBrug G J.Two－stage Template Matching［J］.IEEE Trans.On Computers，1977，26(4)：384－393.

［3］ 牛保青，李文林.图像边缘检测算法分析［J］.安阳工学院学报，2009(6).

［4］ 郭立智，赵金环.基于小波变换的边缘检［J］.青岛理工大学学报，2007，28(2).

［5］ 马春梅花，赵景秀.一种新的基于小波变换的边缘检测算法［J］.计算技术与自动化，2009(12).

［6］ 陈天华.数字图像处理［M］.北京：清华大学出版社，2007.6.

［7］ XU Y S.Wavelet transform domain filters ：A spatially selective noise filtration technique［J］.IEEE Transform Image Processing，1994(9)：747－758.

Edge detecting algorithm based on modulus maxima of 2D wavelet transform

SUN Li-hong，GUAN Shu-an，JIANG Feng，KONG Yan，WANG Xiao-hua
(School of Mathematics and Computer Science，Wuhan Polytechnic University，Wuhan 430023，China)

It is researched in this paper using the modulus maxima of 2D wavelet transform and normal angle to detect image edges.Compared with traditional methods，the method used in this paper proved to be relatively complete，insensitive to noises，with single pixel width and accurate precision.

wavelet transformation;maximum mold;edge tracing

TP 391

A

1009-4881(2011)04-0066-03

10.3969/j.issn.1009-4881.2011.04.017

2011-06-06.

孙莉红(1986－)女，硕士研究生，Email：007sunlihong@163.com.

管庶安(1956－)男，教授，E －mail：jsj_g@163.com.