人口发展系统解的存在唯一性

李 慧

（忻州师范学院 专科部，山西 忻州 034000）

人口发展系统解的存在唯一性

李 慧

（忻州师范学院 专科部，山西 忻州 034000）

文章利用算子半群发展系统知识证明了死亡率函数μ（r，t）与时间t有关的人口发展方程解的存在唯一性.

C0半群；人口发展方程；发展系统；存在唯一性

人口问题已经成为社会问题，并且定量人口研究得到了进一步的发展.在以往的研究中，在对未来人口进行短期预测时，常常假定社会条件在一段时间内保持相对稳定，此时死亡率函数μ（r，t）＝μ（r）与时间无关而只是年龄变化的一元函数以后各年的死亡率函数用起始年的死亡率函数代替.由于这种简单处理使得人口发展方程简单易于求解，对人口短期预测具有相当的准确性.然而人口的存在和发展是由该社会生产方式决定的，同时也受到社会的政治、军事、教育、婚姻等制度和自然条件的影响，死亡率函数应与时间t有关.本文利用算子半群发展系统理论考虑死亡率函数μ（r，t）与时间有关的人口发展方程（1）的解的存在唯一性.

其中p（r，t）称为人口年龄分布密度函数，μ（r，t）表示t时刻r岁的死亡率，k（r）为年龄为r岁的女性生育率，h（r）为生育模式，β是平均生育率，rm是人口能活到的最高平均年龄.我们假设［r1，r2］为生育区间，k（r）h（r）在［0，rm］是连续的，对r∈［r1，r2］，k（r）h（r）＞0，μ（r，t）≥0在区间［0，rc］是连续的，rc＜rm；μ（r，t）满足存在M＞0，使得μ（r，t）＜M且μ′（r，t）对变量（r，t）∈（0，rc）×［0，T］是连续的.取状态空间为X＝L p（0，rc），这样方程（1）转化为发展问题：

1 准备知识

引理1［1］设A（t）是X上C0半群的生成元稳定族，如果D（A（t））＝D与t无关且对任意v∈D，A（t）v在X上是连续可微的，则存在唯一发展系统U（t，s），0≤s≤t≤T满足

5）对每个v∈Y，U（t，s）v是连续的，其中Y是稠连续嵌入到X中.

2 主要结论及证明

［1］Pazy A.Semigroup of linear operators and applications to partial differential equations［M］.New York：Springer-Verlag，1983

［2］于景元，郭宝株，朱广田.人口分布参数系统控制理论［M］.武汉：华中理工大学出版社，1999

［3］Yu Xin.Differentiability of the age-dependent population system based on parity progression ［J］.Applied Mathematics Letters，2006，19：206-214

［4］徐孝成.时间依赖胎次递进方程解的存在唯一性［J］.延边大学学报，1997（3）：23-25

［5］Xu Genqi.Eventually norm continuous semigroups on Hilbert space and perturbations［J］.J.Math.Anal.Appl，289，2004，493-504

The Existence and Uniqueness of the Solution of Population Evolution System

Li Hui
（Specialist Colleges of the Ministry of Xinzhou，Xinzhou 034000，China）

We proof the existence and uniqueness of the solution of population evolution System，where the relative mortality rate is dependent on time t，using the knowledge of evolution system.

C0semigroup；population evolution equation；evolution system；the existence and uniqueness

王映苗】

1672-2027（2011）03-0034-02

O177.92

A

2011-03-07

李 慧（1984-），女，山西定襄人，硕士，忻州师范学院专科部助教，主要从事算子半群理论及其应用.