关于线性变换的一点注记

陈彦恒 贾松芳

（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州 404100）

1 线性变换的定义

定义 设V是数域F上的一个线性空间，则V到自身的映射A称为V上的一个变换.若A还满足：对于V中的任意元素α，β和数域F中任意数k，都有

则称A是V上的一个线性变换.

从线性变换的定义我们很容易知道：线性变换保持线性组合和线性关系式不变，即若β是α1，α2，L， αγ的线性组合 β=k1α1+k2α2+…+ krαr,k1, k2,… ,kr∈F ，则

又若k1α1+ k2α2+…+ krαr=0，则

2 线性变换在一组基上的作用

（1）设α1，α2，L，αn是数域F上的线性空间V的一个基底，A是V上的一个线性变换.V中任意向量β在基α1，α2，L，αn下的坐标是（χ1，χ2，L，χn），即

于是

这就说明了，只要确定了线性变换在一个基底下的象，线性空间中任何向量的象也随之确定.（2）假如B也是V上的一个线性变换，且

则有

这就说明了，若两个线性变换在同一个基底上的作用相同，则这两个线性变换是相同的.

综合（1）和（2）可得结论：线性空间上的线性变换完全被它在一个基上的作用唯一确定.根据这一结论，我们建立了在同一个基底下，线性空间V上线性变换与V中n元有序向量组之间的一一对应关系，进而有更深刻的结论，即

定理1 若α1，α2，L，αn是数域F上的线性空间V的一个基底，β1，β2，L，βn是V中的任意n个向量，则存在唯一的线性变换A，使得

特别的，若β1，β2，L，βn也是V的一个基底，那么线性变换A是可逆的.

证明 设β=χ1α1+χ2α2+L+χnαn使V中的任一个向量.则构造V上的变换V：

容易证明A是线性的，且满足A（αi）=B（αi），i=1，2，L，n，即线性变换V满足要求.其唯一性可由（2）知.

定理1有一个比较强的条件，即要求α1，α2，L，αn是V的一个基底.如果α1，α2，L，αn也是V中的任意n个向量，那么是否存在V的线性变换V，使得

Α (αi) = βi,i = 1,2,… ,n呢?答案是肯定的，下面我们来推广定理1.

3 定理1的推广

引理1 若α1，α2，L，αm是数域F上的n（m≤n）维线性空间 V的一个线性无关组，β1，β2，L，βm是V中的任意m个向量，则存在线性变换A，使得

由定理1知，A是V的一个线性变换，且满足A（αi）=Bi，i=1，2，L，m.

注：若m＜n，则满足A（αi）=Bi，i=1，2，L，m的线性变换A不在被唯一确定.例如设α1=（1，0，0），α2=（0，1，0），α3=（0，0，1），与β1=（-1，1，1），β2=（1，0，1），β3=（0，1，1）是 F3上的两个基底.由引理1知满足

变换A，B是F3上的线性变换，且A（αi）=B（αi）=Bi，i=1，2.但显然A≠B，因为B可逆，A不可逆.

证明 若αi=0，i=1，2，L，n，则由假设条件知Bi=0，i=1，2，L，n.即定理结论对V上任何线性变换都是成立的.

则存在V的线性变换A，使得

若α1，α2，L，αn不全为零向量，则α1，α2，L，αn存在极大线性无关组.可以对向量组α1，α2，L，αn重新排序，使得向量组的前r个向量为α1，α2，L，αn的极大线性无关组，同时β1，β2，L，βn的顺序也做对应调整.因此，为了方便不妨设α1，α2，L，αr（r≤n）是α1，α2，L，αn的极大线性无关组.将其扩充为V的一个基底α1，α2，L，αr，εr+1，εr+2，L，εn.由引理1知，存在V的一个线性变换A满足

下面来证明A（αi）=Bi，i=r+1，r+2，L，n.

因为α1，α2，L，αr是α1，α2，L，αn的极大线性无关组，所以存在li1，li2，L，lir∈F，使得

谢修平垂下头，不好意思再看她们。小谢委屈地说，天这么热，我们大老远地跑到驻马店，来一趟得转几次车，还耽误手里的活……

从而也有

于是，

注 释：

（1）定理2条件要求：V的两个向量组必须是n元向量组.但从定理2的证明过程来看，这个条件并不必要，因此可以把该条件改为“α1，α2，L，αm与β1，β2，L，βm是V的两个m（m∈N*）元向量组”定理2也是成立的.

（2）定理2条件要求：V的两个向量组中的向量的个数必须相等.但实际上可以把条件改为“α1，α2，L，αm与β1，β2，L，βs分别是V的m元向量组和s元向量组，其中m，s∈N*，m ≥s”，此时定理2也是成立的，需做的工作是在向量组 β1，β2，L，βs后面添几个零向量使得向量个数等于m即可.

与条件

是等价的.

根据定理 2及它的注（1）和（3），我们不难得到线性空间上任何两个向量组之间存在线性变换的充分必要条件，即下面定理3.

定理3 设V是数域F上的一个n维线性空间，α1，α2，L，αm与β1，β2，L，βm是V的两个m元向量组.则存在V的线性变换A，使得A（αi）=Bi（i=1，2，L，m）的充分必要条件是

[1]郭聿琦，岑嘉平，徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.

[2]北京大学几何代数教研室.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]赵兴杰.高等代数教学研究[M].重庆：西南师范大学出版社，2006.

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