gl(2|1)在 GL(2,F)的模结构＊

张树林,徐诚慷

(中国矿业大学)

gl(2|1)在 GL(2,F)的模结构＊

张树林,徐诚慷

(中国矿业大学)

设 F是特征p>2的代数闭域,讨论一般线性李超代数gl(2|1)作为一般线性群GL(2,F)-模的结构.

一般线性群;一般线性李超代数;模

0 引言

近年来,模李超代数(即素特征域上的李超代数)备受人们的关注,张永正最先构造四类Cartan型模李超代数并给出其单性的证明[1].模李超代数的表示理论也备受人们的关注[2-4].该文从一个具体李超代数出发,讨论它作为一般线性群上的模结构.

1 预备知识

设基域 F的特征p>2,记Z2=为整数的模 2剩余类环.

定义 1.1[5]定义G的 F表示为群同态ρ:G→GL(V),这里GL(V)是有限维 F线性空间V≠0上的可逆线性变换群.

根据定义,G的 F表示由二元组(ρ,V)确定, G通过ρ作用于V,称V为G模或G的表示空间.

定义 1.2[6]设A是域 F(这里域是任意的)上代数,且A还是Z2阶化线性空间,即A可分解为子空间的直和:∀θ,μ∈Z2,则称A是 F上的超代数.若x∈Aθ,其中θ∈Z2,则称x是次为θ的Z2齐次元素,并记d(x)=θ.用hg(A)表示超代数A的所有Z2齐次元素的集合.

于是,关于线性变换乘法,End(V)是一个结合超代数.若在 End(V)上定义双线性的方括号乘法运算:

则 End(V)是一般线性李超代数,此时将其改为gl(V)或gl(m|n)即

该文取m=2,n=1,记g=gl(2|11,2,3.下面给出g的三角分解:g=

表示 2阶可逆矩阵全体构成的线性群,称为一般线性群.

定义G在g上的作用如下:

2 主要命题和结果

命题 2.1g-是g的单子模.

再由群子模定义及矩阵乘法计算有下式:

因此,g-的g的子模.再说明g-的g的单子模.不妨设V0是g-的非零子模,则 ∀v0∈V0,有v0=λe31+κe32,其中λ,κ不全为零.由群子模定义可知必有下式:

命题 2.2g+是g的单子模.

用同样上述方法可以证得.

命题 2.3g1是g的单子模.

证明 由群模及群子模定义可知,g1是g的子模,又 dimg1=1,故g1是g的单子模.记

考虑G共轭作用g3,g4得以下命题 2.4,2.5.

命题 2.4g3是g的单子模.

因此,g3是g的子模,又因为 dimg3=1,故g3是g的单子模.

命题 2.5g4是g的子模.

因此,g4是g的子模.

由命题 2.4,2.5可得:

定理 2.1g2是g的子模,且g2=g3g4.

证明 由群模定义可知g是G模,又g2是g的非零子空间.再由群子模定义及仿照命题 2.1可证得g2是g的子模.又因为

综合上述命题 2.1～2.5及定理 2.1得以下定理 2.2.

定理 2.2g是G-模,且

[1] 张永正.素特征域上的有限维维 Cartan型李超代数[J].科学通报,1997,42(6):676-679.

[2] Liu Wende.Induced Module of Restricted Lie superalgebras [J].Northeast.Math.,2005,21(1):243-244.

[3] 冯云霞,雷瑞平,何爱军.李超代数在上的模结构[J].科学创新导报,2007,No.35:243-244.

[4] 孔祥青,雷瑞平,杨丽娜,吴娜.模李超代数 [J].徐州师范大学学报(自然科学版),2008,26(4):11-15.

[5] 曹锡华,时俭益.有限群表示论[M].北京:科学出版社, 2009.

[6] 张永正,刘文德.模李超代数 [M].北京:科学出版社, 2004.

The Structure ofGL(2,F)-Modulegl(2|1)

Zhang Shulin,Xu Chengkang
(School of Science,China University ofMining and Technology)

LetFbe an algebraically closed field with char F=p>2.The structure ofLie superalgebragl(2|1)as the module over the general linear groupGL(2,F)is discussed.

General linear group;GeneralLie superalgebra;Module

(责任编辑:李双臻)

2010-12-16

＊中国矿业大学理科专项基金(2010LKSX07)