浅谈《复变函数》在力学专业中的应用

田瑞兰 杨新伟 孙海珍

1.石家庄铁道学院数理系 050043

2.石家庄铁路职业技术学院交通系 050041

浅谈《复变函数》在力学专业中的应用

田瑞兰1杨新伟2孙海珍1

1.石家庄铁道学院数理系 050043

2.石家庄铁路职业技术学院交通系 050041

针对学生缺乏学习《复变函数》的兴趣和积极主动性的现象，结合复变函数的教学经验和非线性振动研究的需要，简要论述了复变函数在力学专业——非线性振动学习中的应用，提出了一个提高教学效果的方法：在《复变函数》教学过程中, 不仅要清晰地向学生讲述该学科的基本知识, 而且应该帮助学生建立起该学科与学生所学专业的联系。

复变函数；留数；非线性振动；微分方程 Melnikov函数

complex function； residue；nonlinear vibration；differential equation；Melnikov function

《复变函数》[1]是一门古老而富有生命力的学科。它不仅是实变函数微积分的理论推广，而且作为一种强有力的工具， 已经被广泛地应用于自然科学的众多领域。例如振动力学、空气动力学、流体力学、弹性力学、理论物理以及自动控制理论等研究中，有很多复杂的计算就是以复变函数为工具来解决的。但现行的有关教材对这个方面涉及较少。在复变函数教学实践中发现：不少学生在学习完《复变函数》后仍存在困惑，会产生诸如有什么应用之类的问题。因此有必要对此做一个较为深入的探讨。

在力学专业——非线性振动学习中，对描述非线性振动系统的微分方程化简[3-5]，利用Melnikov方法[5-6]确定混沌运动的门槛值等内容都要应用复变函数的基础知识、留数等方法进行处理。因此《复变函数》这门课程对该专业的学习起着重要作用，下面仅就几个简单问题进行分析。

1、化简非线性系统的微分方程

在现实生产中，有许多非线性振动问题都可用微分方程来描述，例如宽槽双振头电磁振动给料机的振动、实现电子闭环控制的电磁振动系统的振动等。为了研究非线性系统丰富的动力学行为，通常需要利用一些方法(平均法、KBM法、多尺度法等)求解该模型，得到动力系统的平均方程。如果平均方程过于复杂，就需要对其进一步化简。

考虑如下的立方非线性系统的平均方程

从以上的分析过程与文献[4]分析过程比较，可以看出前者不但涉及的计算量要小得多，而且不需要经过任何矩阵运算过程，所以此方法更有利于实际应用和实现程序化。

2、简化积分的计算

研究非线性振动系统复杂动力学行为时，经常利用Melnikov方法确定混沌运动的门槛值，即度量同（异）宿轨道受扰动分裂后稳定与不稳定流形距离。因此，需要计算复杂的广义积分，给研究带来了很大困难。利用留数定理可以计算一些广义积分，简化计算过程。

考虑振动方程

3、结论

复变函数中的许多理论与方法不仅给数学的许多分支提供一种重要的解析工具, 而且在其他自然科学和各种工程领域，特别是在非线性振动专业学习中有着广泛的应用。本文首先分析了复变函数的基础知识在非线性振动系统的微分方程化简中的应用；其次分析了留数定理在计算非线性振动发生混沌门槛值中的应用。因此，学生想要学好力学专业中振动方面的专业课，《复变函数》课程显然是必不可少的。这就要求老师在《复变函数》教学过程中, 不仅要清晰地向学生讲述该学科的基本知识, 而且还应该帮助学生建立起该学科与学生所学专业的联系, 使学生破疑解难，增强学生的学习兴趣和学习主动性。

[1]西安交通大学高等数学教研室,第4版.复变函数[M].北京：高等教育出版社. 2003；145-185

[2]钟玉泉.复变函数论[M],第2版.北京：高等教育出版社.1993；216-267

[3]王洪礼, 张琪昌. 非线性动力学理论及应用[M].天津: 天津科学技术出版社. 2002；12-69

[4]张琪昌. Hopf分叉理论及其在非线性振动系统中的应用: [博士学位论文][M].天津:天津大学.1991；15-37

[5]高国生, 杨绍普, 陈恩利等.一类非线性磁流变系统局部分岔特性研究[J].力学学报.2004，36(5)：564-568

[6]张琪昌, 田瑞兰. 一类机电耦合非线性动力系统的余维2动态分岔[J].工程力学.2009，26(1)：216-220

A preliminary study on the application of complex function on the research of nonlinear vibration

Tian Ruilan1Yang Xinwei2Sun Haizhen1

1Centre for Nonlinear Dynamics Research, Shijiazhang Railway Institute, Shijiazhuang 050043, China. 2Shijiazhuang Institute of Railway Technology, Shijiazhuang 050041, China

Aiming at the appearance of low initiative of students on learning complex function and combining teaching experience with the research of nonlinear vibration, the application of complex function on research of nonlinear vibration is discussed. A new method for improving the teaching effect is put forward. During the course of teaching, not only the elementary knowledge should be described clearly, but also the relation between complex function and major of students is founded.

国家自然科学基金资助项目(10872136), 河北省教育厅基金资助项目(2009470)

田瑞兰，女， 1977年2月生, 山东汶上人，汉族。博士，研究方向为非线性分析。职称：讲师。