平面控制网四参数法坐标转换与残差内插

杨国清，张予东

(郑州测绘学校，河南郑州450015)

式中，VX、VY为重合点的改正数，遍取与i点相邻的重合点。式中的权P有以下两种取法

1)综合考虑非重合点与重合点的几何分布定权。

平面控制网四参数法坐标转换与残差内插

杨国清，张予东

(郑州测绘学校，河南郑州450015)

详细推导平面控制网四参数法坐标转换的实用公式，提出新的残差内插方法，并给出算例加以验证。

四参数法坐标转换;残差内插;2000国家大地坐标系

经国务院批准，国家测绘局发布公告，我国从2008年7月1日起，启用2000国家大地坐标系。这一公告的发布，意味着大量的地方控制网要从原来的1954北京坐标系或1980西安坐标系转换到2000国家大地坐标系内。中小城市和一般工程测量控制网坐标转换主要采用平面直角坐标四参数转换模型。本文介绍这种模型进行坐标转换的具体做法，以及涉及的残差内插问题。

一、转换参数的计算

平面直角坐标四参数转换模型的4个参数为：两个坐标平移参数X0、Y0，一个旋转参数ε，一个尺度参数k。

坐标转换的原始矩阵为

式中，X、Y为新坐标系下的坐标;x、y为旧坐标系下的坐标;X0，Y0为原始坐标平移参数;ε为旧坐标轴旋转至新坐标轴的角度，以坐标方位角增大的方向为正，反向为负;k为新坐标系与旧坐标系的尺度比。

将上式改写为

式中，x0、y0为参与参数计算的重合点旧坐标中值，有这里的“［］”表示对括号内的表达式从1到n取总和。n为参与参数计算的重合点数，重合点是指既有旧坐标，又有新坐标的点。对于一个具体的坐标变换问题，尺度比例系数k和旋转参数ε是一个确定的数，因而式(2)右边前两项之和也是一个常量，令

式中，X0、Y0为纵横坐标平移参数，同时也是重合点新坐标中值(后面会证明)。则式(2)变为

将式(4)写成

令

则式(5)变为

这里的X0、Y0、a、b是4个待定参数，当a，b确定之后，有

设选中了n个新旧坐标重合点，可据式(7)列出2n个方程，当n＞2时，方程个数大于4，只能采用最小二乘法求解式中的参数。直接根据式(7)写出2n个误差方程

由式(9)可组成法方程。因为有

最后组成的法方程为

式中，D=［(Δx)2+(Δy)2］。解得

若要计算尺度比k和旋转参数ε，可按式(8)计算。

二、精度评定

1)转换系数精度评定

2)重合点坐标转换精度

三、关于重合点的选择和剔除

在实际工作中，一般“新网”是用卫星大地测量方法获得的国家大地网，而“旧网”多是传统控制网或地方以及工程单位所做的控制网。因而一般认为新网精度高，旧网精度低。按这种理解，可以把转换参数计算中的残差V看做是由旧坐标的误差造成的。如果参与转换计算的某重合点的坐标残差V较大(国家测绘局《启用2000国家大地坐标系实施方案》附件《现有测绘成果转换到2000国家大地坐标系技术指南》中规定：大于3倍中误差)则应剔除该点，再选择另一点重新进行转换参数的计算。很显然，即使V没有大于3倍中误差的，也应该通过多次换点试算，以获得最优转换参数。

当转换参数计算出后，还要用分布均匀的另外6个新旧坐标重合点对坐标转换精度进行检核。如果检核不合格，应仔细分析研究，确定合理的处理方案。

四、残差配赋

对于所有重合点来说，不管它是否参与转换参数的计算，直接采用其在新网中的坐标，这相当于将重合点的旧坐标用参数进行坐标转换后又加了一个改正数。由此可见，用所获得的转换参数对旧网的非重合点进行坐标转换也应该有其相应的“改正数”。一般来说，当所有重合点(包括参与参数计算的重合点和未参与参数计算而当做检核点的重合点)的转换残差都较小时，可不考虑给旧网的非重合点计算改正数。这种情况较少，大多数情况下重合点的残差不可忽略，应该给非重合点加坐标转换改正数，可通过内插法计算。非重合点i的坐标转换改正数可采用以下的加权插值计算式计算

式中，VX、VY为重合点的改正数，遍取与i点相邻的重合点。式中的权P有以下两种取法

1)综合考虑非重合点与重合点的几何分布定权。

式中，Dij为非重合点i至所取相邻重合点j的距离; β左与β右为Dij边两边的角度，以弧度或度为单位。如后面算例中，8号点为需要内插的点，计算时取用的重合点为1、4、5、7点，与D8，4相应的β左为184°，β右为485°。

实践证明，该定权法插值效果相对较好，明显优于现今一些GPS软件中采用的简单的以距离平方的倒数作权的做法。

2)简单的以非重合点与重合点的距离的1.5次方的倒数作权。

此种定权法，计算稍简单，但插值效果不及前一种。

五、算 例

某控制网有新旧坐标重合点7个。其中1～5点参与参数计算，6、7点做检验点。另有8、9两点作非重合点坐标转换计算例。

1.转换公式参数计算

参数计算见表1。由表中计算得到的实用转换公式为

2.精度评定

重合点坐标转换精度见表1。

3.检 验

如表2所示。6、7号点也是重合点，未参加转换参数计算，而作为检验点。

4.非重合点坐标转换计算

如表2所示。8、9号点为非重合点转换计算例。表中“转换值X”和“转换值Y”为根据转换公式计算的直接转换值，“采用值X”，“采用值Y”为加过改正数后的坐标采用值。

重合点的改正数由已知值减去转换值获得。非重合点的转换改正数是用加权内插法计算的。采用的是考虑采样点几何分布的式(15)定权。其中：8号点内插计算改正数时，取用了1、4、5、7号重合点的改正数。9号点内插计算改正数时，取用了2、3、6号重合点的改正数。

The Four-coefficient Coordinates Transformation for Horizontal Control Networks and Residuals Interpolation

YANG Guoqing，ZHANG Yudong

表1 控制网坐标转换的参数计算

表2 控制网坐标转换检验和非重合点坐标转换计算

略)

0494-0911(2010)11-0048-03

P221

B

2010-09-09

杨国清(1952—)，男，湖北黄冈人，高级讲师，主要从事测量教学工作。