Bursa转换模型七参数严密解算方法研究

刘仁钊,段文贵,张玉堂

(1.湖北国土资源职业学院,湖北荆州 434000;2.湖北省地球物理勘察技术研究院,湖北武汉 430056)

Bursa转换模型七参数严密解算方法研究

刘仁钊1,段文贵2,张玉堂1

(1.湖北国土资源职业学院,湖北荆州 434000;2.湖北省地球物理勘察技术研究院,湖北武汉 430056)

针对现行教材中Bursa线性转换模型只适合小旋转角的情况,提出了基于中心化后Bursa转换模型七参数严密解算方法,迭代过程无需计算搜索步长λ。通过实例计算表明,该方法数值计算正确,适用于任意两空间坐标系之间的严密转换。

Bursa转换模型;中心化坐标;最小二乘法;迭代计算

0 引言

在空间大地测量学的理论和应用研究中,不同空间坐标系之间的坐标转换是经常遇到的。在现有的教材中[1],传统的三维空间坐标转换大多采用7参数线性模型(即包含3个坐标平移参数、3个角度旋转参数和1个尺度缩放参数),通常只适用于小旋转角。随着测绘技术的发展,这种空间坐标系之间的转换在三维激光扫描、测量机器人自由设站以及GIS坐标变换、区域独立坐标系转换中都遇到大量的大旋转角的转换问题。

文献[2]提出了基于改进的高斯—牛顿法的非线性三维直角坐标转换方法,但在迭代求解过程中需要计算搜索步长。本文在文献[2]的基础上,提出根据中心化后的坐标进行Bursa转换模型七参数严密解算方法,由于中心化后消去了平移参数向量,不仅计算简单,而且求解过程不需计算搜索步长。通过实例计算证明,该方法理论正确,计算简单,不仅适合小旋转角,也适用于大旋转角,可用于任意两空间坐标系的严密转换。

1 Bursa七参数严密解算模型

1.1 Bursa七参数转换模型

设XI和XII分别为I、II两个不同空间坐标系中的坐标向量,由文献[1]知,若按照绕Z-Y-X轴依次旋转,Bursa七参数转换模型为:

其中εX、εY和εZ为旋转角,X0为第I坐标系原点在II坐标系中的坐标向量,δu为两坐标系中尺度比例变化因子。

令R=R1(εX)R2(εY)R3(εZ),则不难推求:

进一步令K=1+δu,于是式①可写成如下向量形式:

1.2 中心化后的Bursa七参数转换模型

设有n个公共点,分别有两套坐标(i=1,2,…,n),将3n个方程相加,取平均值,则有:

根据式③,将n个公共点的方程分别减去方程④,消去坐标平移参数向量,则有:

式⑤即为中心化后的向量形式的Bursa七参数转换模型。与式③比较,除少了坐标平移参数向量之外,其余形式完全一样。为了不至引起混淆,略去前面的中心化符号“Δ”,下面仍然用表示中心化后的坐标向量。

1.3 Bursa七参数严密解算模型

由于⑤式为非线性方程,根据文献[3]中求解非线性方程的高斯—牛顿法,取近似值K=K0+δK,εX=εX0+δ εX,εY=εY0+δ εY,εZ=εZ0+δ εZ,将其在近似值处按台劳级数展开,略去二次及以上各项,有:

其中矩阵各元素:

显然当n=7时,式⑧有唯一解:

当n>7时,根据文献[1,3],需要根据最小二乘法求解,式⑧的误差方程为:

1.4 Bursa七参数计算步骤

(1)根据公共点坐标,计算出坐标平均值后,分别计算出两个空间坐标系的中心化坐标,即

(2)取四个参数的近似值,第一次取K0=1,εX0=εY0=εZ0=0,分别求系数阵A和常数项l;

(3)组成法方程,求解四个参数δK、δ εX、δ εY和δ εZ,并计算四个参数的第二次近似值:K=K0+δK,εX=εX0+δ εX,εY=εY0+δ εY,εZ=εZ0+δ εZ;

(4)重复步骤②和③,当δK<10-7,δ εX、δ εY和δ εZ均<10-4s时,就可停止迭代;

(5)求解出未知参数后,将其代入式④求出平移参数。

2 算例

本文采用的模拟计算算例是摘自文献[4]中的算例。如图1所示,已知点1～8分别为立方体的8个顶点,它们的坐标已知(见表1)。设这些点先沿X、Y、Z轴各平移500 m、1 000 m、2 000 m后,再分别绕轴逆时针旋转30°、45°和60°,尺度参数假定为1,变换后的坐标如表1。

图1 坐标示意图Fig.1 Cubic chart

表1 新旧坐标对照表Table 1 Comparison of Coordinates

根据上述推导的七参数严密解算公式和计算步骤,在Visual C++6.0中编程,并将结果转换为绕XY-Z轴依次旋转的旋转角,最后计算结果如下:

计算结果与文献[2]一致,表明本文提出的Bursa转换模型七参数严密计算理论和计算方法是正确的。在计算过程中,无需计算搜索步长λ,比文献[2]简单。

3 结论

传统的三维空间坐标转换,现行的教材中要求3个旋转角为微小量,一般采用7参数线性模型,不适合大旋转角的坐标转换。本文提出的Bursa转换模型七参数严密求解方法,解决了大角度旋转的坐标转换情况。由于中心化后消去了平移参数向量,不仅计算简单,而且求解过程不需计算搜索步长λ,比文献[2]简单,适合任意两个空间坐标系中坐标转换。

[1] 徐绍铨,张华海,杨志强,等.GPS测量原理及应用[M].武汉:武汉大学出版社,1998:25.

[2] 罗长林,张正禄,等.基于改进的高斯—牛顿法的非线性三维直角坐标转换方法研究[J].大地测量与地球动力学,2007,27(1):50-53.

[3] 王新洲.非线性模型参数估计理论与应用[M].武汉:武汉大学出版社,2002:72.

[4] 王解先.七参数转换中参数之间的相关性[J].大地测量与地球动力学,2007,27(2):43-46.

(责任编辑:胡立智)

Study on Close Computation of Parameters of Bursa Transformation Model

LIU Renzhao1,DUAN Wengui2,ZHANG Yutang1
(1.HubeiLand and Resource Vocational College,Jingzhou,Hubei434000;2.Hubei Geophysical Exploration Institute,Wuhan,Hubei430056)

Aiming at the existing teachingmaterials about the model of Bursa Linear Transfor mation just to be designed for s mall rotary angles,a kind of coordinate centralized method of close computation of parameters is put forward in this paper,and the search step is not needed during the process.It is demonstrated by the example that the method is reliable,and fits in with any coordinate transformation of large Euler angles.

Bursa transformation model;centrlized coordinate;least square method;iterative calculation

P128.1;P228

A

1671-1211(2010)04-0416-03

2010-04-02;改回日期:2010-04-20

刘仁钊(1964-),男,副教授,博士,从事高精度大地测量与GPS测量数据处理的教学与研究。E-mail:renzhao_liu@yahoo.com.cn