角度平均方向-合向量长度θ¯-R控制图模拟

杨 昆，吴东旭

（辽宁工程技术大学 安全科学与工程学院，辽宁 阜新 123000）

0 引言

在闭域圆中，某些质量特性值常以角度形式出现，并且总体服从Von Mises分布，在这种质量控制情形下，显然以开域为前提的传统控制图不能适应，方英等[1]将控制图和方向数据统计这两个方面相结合，将方向数据统计用于控制图，设计了计角值控制图，从而完善了控制图体系。较为常用的是基于均匀数值进行的过程控制，如何尽快发现和判断生产的异常，成为研究计角值控制图性能的一个重要指标。该文充分借鉴了常规控制图性能分析的研究思路，并结合圆上闭域的特点，运用统计控制过程中的重要工具平均链长（the average run length）对角度平均方向－合向量长度控制图的性能进行了蒙特卡洛模拟分析。

1.1 控制图的建立

假定质量特性值服从Von Mises分布M(μ0,k)，R是样本合向量长度，R控制图主要用于观察分布的离散情况或变异程度的变化。

设P(R≤Rα)，则R的控制界限为

根据组内样本量n，计算P(r,n)。给出了n=3,4,5时的P(r,n)分布的R分位点。

质量特性值服从 Von Mises 分布 M(μ0,k)，是样本平均合向量方向，平均方向控制图是利用质量特性数据的平均方向来反映和控制质量数据集中位置的变化。

根据抽样得到的质量特性值来计算控制界限如下

计算θ¯控制图的控制界限应从R控制图开始，因为θ¯的控制界限中包含R，若R控制图未判稳，则过程的变异度失控，计算出来的控制界限就没有多大意义。

表1 α=0.001时，k偏移0-2.9的ARL

表2 α=0.005时，k偏移0-2.9的ARL

表3 α=0.01时，k偏移0-2.9的ARL

同样对控制图的重要指标－平均链长ARL进行模拟。在过程处于统计控制状态时，ARL越长，控制图的效果越好；当过程未处于统计控制状态时，ARL越短，控制图的效果越好。本文采用Monte Carlo模拟[4]方法得到平均方向-合向量长度θ¯—R控制图的平均链长ARL。

2.1 控制图模拟

考察在α=0.001、α=0.005和α=0.01三种不同控制状态下，当k发生偏移时，组内样本量取何值更能有效的使控制图对过程发生异常的情况下作出更加快速的反映。这里取k=3,5,7,9取作为研究对象，使原始数据的k值偏移0-2.9，观察所对应的平均链长ARL的变化。表1～3分别对应当α=0.001、α=0.005和 α=0.01时，k偏移 0-2.9的平均链长值ARL；

从表1～3可以得出如下结论：

（1）在α和k值相同的情况下，随着k的偏移，无论组内样本量n为何值，ARL都呈现递减趋势。

（2）在α和k值相同的情况下，随着k的偏移，随着组内样本量n的增加，ARL呈现递减趋势更加明显，这说明组内个数的取值对较快查出控制图发生异常是有一定作用的。从表纵向数据可以看出组内样本量n=5时，在未发生偏移的情况下，ARL5最长，而发生偏移之后ARL5递减速度最快。因此，组内样本量取n=5时能更好的反映合向量长度控制图的性能。n=3时的效果最差。n=4时的效果与n=5时的效果接近。

（3）随着α值的增加，虚发报警概率在增大，漏发报警概率在减小，由ARL的递减速率可知漏发报警概率对ARL的作用要大于虚发报警概率，这对控制图检出异常因素是不利的。

（4）在α值相同的情况下，随着k的增加，未发生偏移的ARL在逐渐减小，当k=3时，ARL值最高且最接近1/α。从表中也可以看出这个规律。发生偏移的ARL的斜率也在逐渐减小。

2.2 平均方向控制图模拟

每次取样本量为100000，组间样本量为5，重复50次，在不同α状态下，考察随均值μ发生偏移时的平均方向θ¯控制 图 的 平 均 链 长 ARL值 。 其 中 取 K=3,5,7,9， 在 α=0.001,0.005,0.01情况下，对均值发生偏移角度分别为5度、10度、15度、20度、25度、30度、35度、40度、45度、50度。随均值μ发生偏移时的平均方向θ¯控制图的平均链长ARL值见表4所示。

从表4可以得出如下结论：

（2）在相同的α值下，当中心发生偏移的时候，k越大，平均方向控制图的平均链长ARL¯值递减的速率越快。

θ

θ异常的速度比较快。

3 结论

本章运用蒙特卡罗方法对计角值控制图中占有重要地位的角度平均方向－合向量长度θ¯-R控制图的重要指标平均链长ARL进行了模拟研究，并模拟了在对角度平均方向和合向量长度进行偏移处理之后对平均链长的影响。在对θ¯-R控制图选取样本点之后，取组内样本量为何值才是合理子组进行了模拟比较，分析结果显示当n=5时平均方向控制图的控制效果最好。

[1]方英,李元生.角度平均方向-合向量长度控制图[J].清华大学学报(自然科学版),2006,46(3).

[2]Kanti V.Mardia,Peter E.Jupp.Directional Statistics[M].London：Academic Press Inc，1972.

[3]杨昆.计角值控制图的模拟与过程能力分析[D].北京:中国矿业大学(北京),2008,1.

[4]徐钟济.蒙特卡罗方法[M].上海:上海科学技术出版社,1985.