一道常见题引出一个有用的结论

●袁守义 (常州市第一中学 江苏常州 213003)

图1

图2

这是一道常见题，学生给出了多种解法，这里不一一列举.笔者在教学中特别展示了学生的一种几何解法：

结果，很快就有学生给出了答案m ∶n∶p.或许有些学生是猜测的，但事实上用上面的方法，不难证得其结果是正确的.在此基础上，将此问题换一种说法，可得下面结论：

图3

C

证明如图3，延长 AO至点 A'，使得 AO=OA'，过点A'分别作 OB，OC的平行线交 OC于点C'，交 OB 于点 B'，则

若用此定理解决相关的问题，则明显快捷、准确.

(2009年江苏省镇江市高中数学模拟试题)

从而△OAB与△OBC的面积之比为5∶1.

图4

图5

(2010年江苏各地数学高考押题汇编)

因为点P在△ABC的内部，所以不妨设 S△PBC=1-x-y，S△PAC=x，S△PAB=y(如图 5)，得