矩形隧道中的多波模传播特性

霍 羽 徐 钊 郑红党

(中国矿业大学信息与电气工程学院,江苏徐州221008)

1.引 言

在矿井隧道这种复杂特殊的受限空间里,受隧道截面尺寸、传播频率、天线极化、隧道壁反射、隧道壁粗糙度、倾斜度等综合因素的影响,电磁波传播特性有别于地面情况[1-6],而隧道内电磁波传输理论的发展较为缓慢,所得结论还存在争议。

上世纪70年代,Marcatili、Emslie等研究认为在隧道中传播的电磁波,当其波长远小于隧道截面尺寸时,可将隧道视作有损耗的介质波导,并分析了隧道内电磁波传输的波模方程[1-2]。

文献[2]推导出基模作用下的电磁波衰减公式,据此推断,电磁波传播损耗随频率的升高而降低,并最终收敛于零。此外,隧道壁粗糙度对电磁波传播特性的影响在低频时较为严重,而倾斜度的影响在高频时较为严重。

然而文献[7]在对平面导波的波模方程求解分析以及仿真时,认为粗糙度对电磁波传播特性的影响在较高频率时会增大,但是总体衰减仍然随频率的升高而减少;而且认为粗糙度对水平极化波的影响更大。

此后四五十年,在相关的大部分理论研究中,所得结论却更倾向于文献[2][8-12]。

不过,上述研究都因高次模的传播损耗较大,而将其忽略,只针对基模进行分析,忽略了多波模的共同作用,因而所得结论值得商榷。

文献[5]曾对隧道内电磁波传播模式进行了讨论,提出理论分析中应考虑多波模的共同作用。

文献[13]采用了几何光学的方法,由于多波模在传播中所起的作用近似于多径传播,点源的场是通过直接射线和反射射线叠加的结果,通过对两种不同频率下电磁波的相对时延进行仿真分析,得出受粗糙度影响高频信号的衰减大于低频信号的结论,显然,这与上述结论均有相悖之处,但是缺少进一步的理论证明。

综上所述,仅用基模来分析隧道内电磁波的传播特性不够准确。本文在研究较高次波模影响的基础上,推导出多波模综合作用下的衰减公式,建立了多波模传输理论,通过理论分析,仿真比较,所得结论与以往分析有所不同,但与已有测量数据[3,10,14],及几何光学的仿真结论相一致,对隧道内传统波模理论进行了修正。

2.矩形隧道多波模理论

假设在空直的矿井隧道内,主隧道横截面为矩形,宽为a,高为b,采用直角坐标系,原点位于隧道横截面中心,x,y,z分别沿隧道的宽度、高度和长度方向,如图1所示。两侧壁的相对介电常数为ε1,顶底两壁的相对介电常数为ε2.

图1 隧道模型

隧道内,只有直射波和掠射波才可以实现远距离传输[1]。如果接收机灵敏度所允许的最高次模为(),则被接收到的总波模数M为

设发射机发射功率恒定,平均分配给各次波模。(m,n)次模的衰减常数为L(m,n),将发射功率归一化,则电磁波传播的衰减常数为

下面分别讨论电磁波传播时的反射损耗特性,由隧道壁粗糙度和倾斜度引起的散射损耗特性。暂不考虑天线在隧道内的插入损耗。

2.1 隧道壁反射引起的传播损耗

2.1.1 单波模作用下的损耗

根据马卡梯里理论,波导中传输的主要模式为:水平极化波与垂直极化波。首先分析水平极化波Eh的各场量表达式,由麦克斯韦方程与边界条件[2]

式中:m为波模在水平方向的半波数;n为波模在垂直方向的半波数。

kx、ky、k z满足色散条件

根据公式(5)、切向电场与切向磁场连续的边界条件可以求出kz

式中,k z的虚部表示了沿隧道传输方向的衰减。则(m,n)模式水平极化波Eh的反射损耗(dB)为

同理,可以计算出(m,n)模垂直极化波Ev的反射损耗

2.1.2 多波模作用下的损耗

根据隧道内电磁波能远距离传输的条件,这里把掠射角作为选择高次模的依据。

假设(m,n)次波模入射到两侧壁和上下两壁的掠射角分别为 φ1和 φ2,则有[11]

把公式(4)、(5)代入式(9)

电磁波入射到隧道侧壁和顶底壁时,假设接收机灵敏度所允许的最大掠射角分别为φ1max和φ2max,由公式(10),可以得到满足条件的最高次模为

代入到公式(1),则被接收到的总波模数M为

模式数目与频率平方成正比,高次模的影响随频率的升高而增强。

将公式(7)、(11)和(12)代入式(2)得到水平极化波Eh的反射损耗

同理,可得垂直极化波Ev的反射损耗

电磁波反射损耗与频率成反比。

2.2 隧道表面粗糙度造成的散射损耗

2.2.1 单波模作用下的损耗

根据Rayleigh判据,假设隧道壁粗糙度服从均值为0,方差为σ2高斯分布,当入射波以一定掠射角φ掠入射到隧道壁时,入射波与反射波的相位差为Δφ=2kσsinφ,如果 Δφ＞π/2,即,则隧道表面是粗糙的。根据定义,可以推断,电磁波频率越高,波长越短,由隧道壁粗糙造成的散射损耗应越强。

首先,推导单次波模的粗糙度损耗公式。

反射波强度I与入射波强度I 0的比值为[15]

R0为不考虑粗糙度影响时,入射波的反射系数。因此,由粗糙度引起的损耗因子为

把式(10)代入式(16),可以分别得到(m,n)波模在侧壁和顶底壁上经历一次反射后的粗糙度衰减因子

假设(m,n)模式的电磁波经过传播距离z后,在两侧壁上共反射了 N 1次,在顶底壁上共反射了N2次,则[2]

根据公式(10)、(17)和(18),可推导出传播距离z后的损耗因子

将公式(19)用dB表示

正如公式(20)所示,如果仅考虑给定的单一模式,很容易错误地认为粗糙度对电磁波衰落特性的影响随频率的升高会减少,衰减值与频率成反比。但是,当考虑了多波模的综合作用后,结果将截然相反。

2.2.2 多波模作用下的损耗

将公式(11)、(12)和(20)代入式(2)得到由隧道壁粗糙度造成的散射损耗

根据公式(21),给定掠射角临界值后,由粗糙度引起的衰落随频率的升高而增大,与根据粗糙度定义得出的推论结果相一致。

2.3 隧道壁倾斜造成的散射损耗

2.3.1 单波模作用下的损耗

实际的矿井隧道,顶壁和底壁可能存在大范围的倾斜,假设倾斜角度为θ(rad),则电磁波在侧壁和顶底壁的功率耦合因子g1、g2分别是[2]

根据公式(10),(18)和(22),(m,n)模式的电磁波经过传播距离z后的损耗因子为

用d B表示

对于单波模电磁波,由隧道壁倾斜度引起的损耗与频率成正比,而可考虑的波模总数也随频率的平方增长,所以,倾斜度的影响在高频时明显。

2.3.2 多波模作用下的损耗

将公式(11)、(12)和(24)代入式(2)得到由多波模综合作用下的散射损耗

3.多波模传播特性仿真

假设一个宽为4 m,高为3 m的矩形空直隧道内,隧道壁的相对介电常数为10。壁表面的粗糙度标准方差σ=0.0749,倾斜度为1°。收发机距离为300 m。

1)反射损耗特性

图2比较了基模和多波模综合作用下,因反射引起的传播损耗随频率的变化曲线。图2(a)显示,随频率的增加,基模的水平极化波与垂直极化波衰减系数收敛于零,文献[2,8-12]据此判断了电磁波的衰落特性。但由图2(b)可以看出这一结论不够准确,随频率的升高,在多波模的综合作用下,电磁波经反射造成的损耗逐渐减小,但最终收敛于一个大于零的稳定值。

因为波模数目随频率的平方而增长,导致反射损耗始终存在。所以在分析隧道电磁波传输时,考虑一些次数较低的高次波模是必须的。

此外,仿真隧道的截面宽度大于高度,垂直极化波的衰减值略大于水平极化波,这一结果与文献[3]的测量结果一致。

2)粗糙度造成的散射损耗特性

图3仿真了由隧道壁粗糙度造成的传播损耗随频率的变化曲线。由图可以直观地看出基模和电磁波整体传播特性的显著差异。在高频处,隧道壁粗糙度对传播特性的影响不是减小至零,而是增强,验证了几何光学分析法的仿真结果[13]。这与文献[2]的结论“粗糙度对电磁波传播特性的影响在低频时较为明显”相悖。

在公式(20)中,粗糙度造成的散射损耗与其模式次数m和n的三次方成正比,而待考虑高次模的数量又与频率的平方成正比,使得散射损耗随频率增长的趋势必然远大于单波模损耗下降的趋势。

图3 隧道壁粗糙表面造成的散射损耗与频率的变化曲线

3)倾斜度造成的散射损耗特性

图4为隧道壁倾斜度影响下的电磁波衰减随频率的变化曲线。受多波模的作用,倾斜度的影响随频率的增强趋势更显著。当然,在高频时,倾斜度比粗糙度的影响大得多。

4)矩形空直隧道内的传播损耗

矩形空直隧道内的传播损耗为电磁波反射损耗、隧道壁粗糙度及倾斜度造成的散射损耗之和。

图5给出了电磁波传播损耗随频率的变化曲线。不难发现,矩形空直隧道内,电磁波的最佳传播频段在500～1500 MHz之间,与文献[10,14]根据测量数据所得的分析结果相一致。

图5 电磁波传播损耗随频率的变化曲线

4.结 论

针对矩形空直隧道,首先定义了电磁波传播中应考虑波模的个数和最高次数,然后推导出多波模综合作用下的电磁波衰减公式,建立了多波模传输理论。通过理论分析与仿真比较,得出结论:

1)高次模对电磁波传播特性的影响随频率的升高而增大,不可忽略。

2)在多波模的共同作用下,水平极化波和垂直极化波的衰减值及其差值随频率的升高而减小,并收敛在稳定值。

3)隧道壁倾斜度、粗糙度对电磁波传播特性的影响都在高频时明显,倾斜度的影响相对更大。

4)对隧道内的电磁波传播,500～1500 MHz是比较理想的低衰减频段,该结论对隧道等有限空间通信频率的选择具有一定的参考价值。

综上所述,电磁波传播特性与基模特性之间存在很大的差异。上述结果与实际测量结果相一致,并在理论上验证了几何光学仿真结果的正确性,修正了传统只依靠单模分析的电磁波传输理论,对井下通信与控制系统的建立具有重要意义。

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